4. Zadatak

Neka je $n$ broj stranica (vrhova) traženog mnogokuta.

Iz jednog vrha tog mnogokuta može se nacrtati $n-3$ dijagonale, a ukupan broj dijagonala tog mnogokuta jednak je $\frac{n(n-3)}{2}$.

U mnogokutu koji ima $n+5$ stranica, iz jednog vrha može se nacrtati $n+5-3=n+2$ dijagonale, a ukupan broj dijagonala tog mnogokuta je $\frac{(n+5)(n+2)}{2}$.

Prema uvjetu zadatka vrijedi

$$\frac{n(n-3)}{2}+50=\frac{(n+5)(n+2)}{2}.$$

Rješavanjem ove jednadžbe dobiva se redom

$$\begin{aligned} n(n-3)+100&=(n+5)(n+2)\\ n^2-3n+100&=n^2+7n+10\\ 10n&=90 \end{aligned}$$

i konačno $n=9$.