6. Zadatak

Prvi način:

Površina sivog dijela jednaka je zbroju površina 7 sukladnih jednakostraničnih trokuta sa stranicom duljine $4\sqrt{3}$ cm umanjenim za zbroj $2\cdot6=12$ površina (na „bijelim mjestima“ preklopljeni su i oduzeti dijelovi dvaju trokuta!) jednakostraničnih trokuta sa stranicom duljine $2\sqrt{3}$ cm.

Primjenom Pitagorinog poučka izračuna se duljina visine većeg trokuta.

$$v^2=(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2=48-12=36$$

$v=6$ cm.

Površina tog trokuta jednaka je

$$P_1=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot6=12\sqrt{3}\ \text{cm}^2.$$

Primjenom Pitagorinog poučka izračuna se duljina visine manjeg trokuta.

$$v_1^2=(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2=12-3=9$$

$v_1=3$ cm.

Površina tog trokuta jednaka je

$$P_2=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot3=3\sqrt{3}\ \text{cm}^2.$$

Površina sivog dijela lika jednaka je

$$7\cdot P_1-12\cdot P_2=7\cdot12\sqrt{3}-12\cdot3\sqrt{3}=84\sqrt{3}-36\sqrt{3}=48\sqrt{3}\ \text{cm}^2.$$

Drugi način:

Površina sivog dijela jednaka je površini trapeza ABCD umanjenoj za zbroj površina 12 „bijelih“ jednakostraničnih trokuta.

Duljine osnovica trapeza su $|AB|=4\cdot4\sqrt{3}=16\sqrt{3}$ cm i $|CD|=3\cdot4\sqrt{3}=12\sqrt{3}$ cm.

Duljina visine trapeza jednaka je duljini visine jednakostraničnog trokuta sa stranicom duljine $4\sqrt{3}$ cm. Određujemo je primjenom Pitagorinog poučka.

$$v^2=(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2=48-12=36$$

$v=6$ cm.

Površina trapeza ABCD jednaka je

$$P_{ABCD}=\frac{16\sqrt{3}+12\sqrt{3}}{2}\cdot6=14\sqrt{3}\cdot6=84\sqrt{3}\ \text{cm}^2.$$

Primjenom Pitagorinog poučka izračuna se duljina visine manjeg trokuta.

$$v_1^2=(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2=12-3=9$$

$v_1=3$ cm.

Površina tog trokuta jednaka je

$$P_1=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot3=3\sqrt{3}\ \text{cm}^2.$$

Površina sivog dijela lika jednaka je

$$P_{ABCD}-12\cdot P_1=84\sqrt{3}-12\cdot3\sqrt{3}=84\sqrt{3}-36\sqrt{3}=48\sqrt{3}\ \text{cm}^2.$$

Treći način:

Romb ABCD na slici sastavljen je od dva sukladna jednakostranična trokuta sa stranicom duljine $2\sqrt{3}$ cm. Ti su trokuti sukladni „bijelim“ trokutima sa slike.

Neke od „sivih“ rombova možemo podijeliti na trokute i presložiti tako da popune bijele dijelove, kao što je prikazano na slici:

Dakle, površina sivih dijelova slike jednaka je površini četiriju jednakostraničnih trokuta sa stranicom duljine $4\sqrt{3}$ cm.

Primjenom Pitagorinog poučka izračuna se duljina visine većeg trokuta.

$$v^2=(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2=48-12=36$$

$v=6$ cm.

Površina tog trokuta jednaka je

$$P=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot6=12\sqrt{3}\ \text{cm}^2.$$

Površina sivog dijela lika jednaka je

$$4\cdot P=4\cdot12\sqrt{3}=48\sqrt{3}\ \text{cm}^2.$$

Četvrti način:

Sivi dio zadanog lika možemo podijeliti, kao što je prikazano na slici, na 16 jednakostraničnih trokuta.

Budući da su dužinama spajana polovišta stranica jednakostraničnih trokuta, dobiveni su trokuti slični zadanom „velikom“ trokutu, s upola kraćim stranicama. Dakle, duljina stranice tih trokuta je $2\sqrt{3}$ cm.

Primjenom Pitagorinog poučka izračuna se duljina visine manjeg trokuta.

$$v_1^2=(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{3})^2=12-3=9$$

$v_1=3$ cm.

Površina tog trokuta jednaka je

$$P_1=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot3=3\sqrt{3}\ \text{cm}^2.$$

Površina sivog dijela lika jednaka je

$$16\cdot P_1=16\cdot3\sqrt{3}=48\sqrt{3}\ \text{cm}^2.$$