2. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo s $T$ polovište stranice $\overline{BC}$ i nacrtajmo dužinu $\overline{GT}$.

$|HC|=|TC|$ jer su $H$ i $T$ polovišta stranica kvadrata, $\overline{GC}$ je zajednička stranica i $|\angle HCG|=|\angle GCT|=45^\circ$ (dijagonala kvadrata pripada simetrali pravoga kuta).

Trokut $HGC$ i trokut $TCG$ sukladni su prema SKS poučku o sukladnosti trokuta.

Tada su i njihove površine jednake, tj. vrijedi $P_{\triangle HGC}=P_{\triangle TCG}$.

Trokut $BTG$ i trokut $TCG$ imaju sukladne osnovice, $|BT|=|TC|$, i zajedničku visinu iz vrha $G$ pa su im jednake površine: $P_{\triangle BTG}=P_{\triangle TCG}$.

Površina trokuta $HBC$ je $9$ cm$^2$ (četvrtina površine kvadrata) i jednaka je zbroju površina trokuta $BTG$, $TCG$ i $HGC$. Vrijedi

$$P_{\triangle BTG}+P_{\triangle TCG}+P_{\triangle HGC}=9\text{ cm}^2.$$

Stoga je površina svakog od trokuta $BTG$, $TCG$ i $HGC$ jednaka $3$ cm$^2$, tj. vrijedi

$$P_{\triangle BTG}=P_{\triangle TCG}=P_{\triangle HGC}=3\text{ cm}^2.$$

Površina trokuta $HFC$ je $4.5$ cm$^2$ jer je taj trokut osmina čitavog kvadrata.

Stoga površina trokuta $HGF$ iznosi $P_{\triangle HGF}=P_{\triangle HFC}-P_{\triangle HGC}=4.5-3=1.5$ cm$^2$.

Pravac $HF$ je os simetrije kvadrata $ABCD$ pa je površina četverokuta $EFGH$

$$P_{EFGH}=2\cdot1.5=3\text{ cm}^2.$$

Napomena. Postoje i mnogi drugi načini da se kvadrat podijeli na manje trokute.

Površina trokuta $BCF$ je $9$ cm$^2$ (četvrtina površine kvadrata), pa je $P_{\triangle BGF}=P_{\triangle BCF}-P_{\triangle BTG}-P_{\triangle TCG}=3$ cm$^2$.

Neka je $S$ polovište stranice $\overline{AB}$. Površina trokuta $SBH$ je $9$ cm$^2$ (četvrtina površine kvadrata).

Površina trokuta $SBF$ je $4.5$ cm$^2$ (osmina površine kvadrata), pa je površina trokuta $FGH$

$$P_{\triangle FGH}=P_{\triangle SBH}-P_{\triangle BGF}-P_{\triangle SBF}=9-3-4.5=1.5\text{ cm}^2.$$

Drugo rješenje.

Promotrimo trokut $ACD$.

Točka $H$ polovište je stranice $\overline{DC}$, a točka $F$ sjecište je dijagonala kvadrata pa je ujedno i polovište stranice $\overline{AC}$. Dakle, dužine $\overline{AH}$ i $\overline{DF}$ težišnice su toga trokuta i sijeku se u točki $E$. Zaključujemo da je točka $E$ težište trokuta $ACD$.

Težište dijeli težišnicu $\overline{AH}$ u omjeru $2:1$. Neka je $|AE|=2x$, a $|EH|=x$.

Neka je $v$ duljina visine iz vrha $D$ trokuta $AHD$ na stranicu $\overline{AH}$.

Uočimo da je tada $v$ i duljina visine trokuta $AED$ i trokuta $EHD$.

Tada površina trokuta $AED$ je $P_{\triangle AED}=\frac{2x\cdot v}{2}=x\cdot v$, a površina trokuta $EHD$ je $P_{\triangle EHD}=\frac{x\cdot v}{2}$. Dakle, $P_{\triangle AED}=2P_{\triangle EHD}$.

Površina trokuta $AHD$ je $9$ cm$^2$ (četvrtina površine kvadrata $ABCD$).

$$P_{\triangle AED}+P_{\triangle EHD}=P_{\triangle AHD}$$ $$2P_{\triangle EHD}+P_{\triangle EHD}=9\text{ cm}^2$$ $$P_{\triangle EHD}=3\text{ cm}^2.$$

Pravac $HF$ je os simetrije kvadrata $ABCD$, te su trokuti $EHD$ i $GCH$ međusobno osnosimetrični obzirom na taj pravac i zato sukladni. Njihove su površine tada jednake, to jest $P_{\triangle EHD}=P_{\triangle GCH}=3$ cm$^2$.

Promotrimo trokut $FCD$. Njegova je površina $9$ cm$^2$ (četvrtina površine kvadrata $ABCD$).

$$P_{\triangle EHD}+P_{EFGH}+P_{\triangle GCH}=P_{\triangle FCD}$$ $$3\text{ cm}^2+P_{EFGH}+3\text{ cm}^2=9\text{ cm}^2$$ $$P_{EFGH}=3\text{ cm}^2.$$