5. Zadatak

I. Dokažimo da je $DF\perp AE$

Promotrimo trokute $\triangle DBC$ i $\triangle DCF$:

• stranica $\overline{DC}$ im je zajednička
• $|CB|=|FC|$
• $|\angle DCB|=|\angle FCD|=90^\circ$

Prema SKS poučku trokuti su sukladni, $\triangle DBC\cong\triangle DFC$. Tada je i $|\angle BDC|=|\angle CDF|=\alpha$.

Neka je točka $G$ sjecište pravaca $DF$ i $AE$.

Promotrimo trokute $\triangle GAF$ i $\triangle CFD$:

• $|\angle FAG|=|\angle BDC|=\alpha$ jer su to dva obodna kuta nad tetivom $\overline{BE}$ pa je i $|\angle FAG|=|\angle CFD|=\alpha$
• $|\angle GFA|=|\angle DFC|=\beta$ jer su to vršni kutovi

Trokuti $\triangle GAF$ i $\triangle CFD$ imaju dva kuta jednake veličine pa je i $|\angle AGF|=|\angle FCD|=90^\circ$, odnosno $DF\perp AE$, što je i trebalo dokazati.

II. Dokažimo da je $EF\perp AD$

Dokaz provodimo analognim razmišljanjem kao i za dokaz da je $DF\perp AE$.

Promotrimo trokute $\triangle FCE$ i $\triangle CBE$: stranica $\overline{CE}$ im je zajednička, $|CB|=|FC|$ i $|\angle ECF|=|\angle BCE|=90^\circ$. Prema SKS poučku trokuti su sukladni, $\triangle FCE\cong\triangle CBE$. Tada je i $|\angle CEB|=|\angle FEC|=\gamma$.

Neka je točka $H$ sjecište pravaca $EF$ i $AD$.

Promotrimo trokute $\triangle AHF$ i $\triangle FCE$:

• $|\angle HAF|=|\angle DEB|=\gamma$ jer su to dva obodna kuta nad tetivom $\overline{DB}$ pa je i $|\angle HAF|=|\angle FEC|=\gamma$
• $|\angle AFH|=|\angle CFE|=\delta$ jer su to vršni kutovi

Trokuti $\triangle AHF$ i $\triangle FCE$ imaju dva kuta jednake veličine pa je i $|\angle FHA|=|\angle ECF|=90^\circ$, odnosno $EF\perp AD$, što je i trebalo dokazati.

Napomena: Drugi dio dokaza može se provesti, koristeći dokazano u prvom dijelu, pomoću ortocentra. Promotrimo $\triangle ADE$. Dužine $\overline{AC}$ i $\overline{DG}$ su visine tog trokuta i sijeku se u točki $F$ (ortocentru). I visina iz vrha $E$ mora prolaziti ortocentrom $F$. Stoga je $EF\perp AD$, što je i trebalo dokazati.