1. Zadatak

Prvo rješenje.

Brojevi $a$ i $b$ su nazivnici razlomaka pa mora biti $(a,b)\in\mathbb Z\times\mathbb Z$ i $a\ne0$, $b\ne0$. Vrijedi

$$\frac1a-\frac1b=\frac15$$ $$\frac{b-a}{ab}=\frac15$$ $$ab=5b-5a$$ $$ab+5a=5b$$ $$a(b+5)=5b$$ $$a=\frac{5b+25-25}{b+5}$$ $$a=5-\frac{25}{b+5}.$$

Kako bi $a$ bio cijeli broj, nazivnik $b+5$ razlomka mora biti djelitelj brojnika $25$. Zato je

$$b+5\in\{-1,1,-5,5,-25,25\}$$ $$b\in\{-6,-4,-10,0,-30,20\}.$$

Kako je $b\ne0$, $b\in\{-6,-4,-10,-30,20\}$.

$b$	$-6$	$-4$	$-10$	$-30$	$20$
$a$	$30$	$-20$	$10$	$6$	$4$

Traženi uređeni parovi su $(30,-6)$, $(-20,-4)$, $(10,-10)$, $(6,-30)$ i $(4,20)$.

Napomena. Analogno možemo izraziti

$$b=-5-\frac{25}{a-5}.$$

Kako je $a\ne0$, dobivamo $a\in\{4,6,10,-20,30\}$.

Dobivamo iste parove kao rješenje.

Drugo rješenje.

Brojevi $a$ i $b$ su nazivnici razlomaka pa mora biti $(a,b)\in\mathbb Z\times\mathbb Z$ i $a\ne0$, $b\ne0$.

$$\frac1a-\frac1b=\frac15$$ $$\frac{b-a}{ab}=\frac15$$ $$ab=5b-5a$$ $$25=25+5b-5a-ab$$ $$25=5(5+b)-a(5+b)$$ $$25=(5-a)(5+b).$$

Imamo sljedećih šest mogućnosti

$5+b$	$-1$	$1$	$-5$	$5$	$-25$	$25$
$5-a$	$-25$	$25$	$-5$	$5$	$-1$	$1$

Kako je $a\ne0$ i $b\ne0$, imamo samo sljedeće mogućnosti

$b$	$-6$	$-4$	$-10$	$-30$	$20$
$a$	$30$	$-20$	$10$	$6$	$4$

Traženi uređeni parovi su $(30,-6)$, $(-20,-4)$, $(10,-10)$, $(6,-30)$ i $(4,20)$.