4. Zadatak

Neka je $x$ cijena karte koja je prodana po punoj cijeni, $x\in\mathbb N$.

Tada je $\frac x2$ cijena karte koja je prodana „u pola cijene“.

Neka je $y$ broj karata koje su prodane po punoj cijeni.

Tada je $150-y$ broj karata koje su prodane „u pola cijene“.

Zarada od prodaje karata je, tada:

$$x\cdot y+\frac x2\cdot(150-y)=2023.$$

Slijedi

$$x\cdot y+75x-\frac x2\cdot y=2023$$ $$2xy+150x-xy=4046$$ $$xy+150x=4046$$ $$x\cdot(y+150)=4046.$$

Broj karata prodanih po punoj cijeni je veći od $100$ i manji od $150$, $100<y<150$, pa je $250<y+150<300$.

Kako je $x\in\mathbb N$, slijedi da je $y+150$ djelitelj broja $4046$, a kako je rastav broja $4046$ na proste faktore $4046=2\cdot7\cdot17\cdot17$, jedina mogućnost je $y+150=289$, tj. $y=139$.

Tada je $x=4046:289=14$.

Zarada od karata koje su prodane po punoj cijeni je $14\cdot139=1946$ €.

Napomena. Iz jednadžbe $x\cdot(y+150)=4046$ moguće je odrediti rješenje provjerom svih slučajeva

$$x\in\{1,2,7,14,17,34,119,238,289,578,2023,4046\}.$$