3. Zadatak

Prvo rješenje.

Pri dijeljenju peteroznamenkastog broja $n$ sa $100$, prve tri znamenke broja $n$ čine količnik $a$, a posljednje dvije ostatak $b$. Tada je $100\le a\le999$ i $0\le b\le99$.

Brojeva $a$ ima $999-99=900$, tj. broj $a$ se može odabrati na $9\cdot10\cdot10=900$ načina.

Za svaku mogućnost za broj $a$, promatramo i prebrojavamo mogućnosti za broj $b$.

$a$	$b$
$100$	$10,21,\ldots,98$	$9$ načina
$\vdots$		$\vdots$
$109$	$1,12,\ldots,89$	$9$ načina
$110$	$0,11,22,\ldots,99$	$10$ načina
$111$	$10,21,\ldots,98$	$9$ načina
$\vdots$		$\vdots$
$120$	$1,12,\ldots,89$	$9$ načina
$121$	$0,11,22,\ldots,99$	$10$ načina

Kako bi zbroj $a+b$ bio djeljiv s $11$, za svaki od $900$ odabira broja $a$, broj $b$ može se odabrati na barem onoliko načina koliki je nepotpuni količnik brojeva $100$ i $11$, to jest na $9$ načina.

Kada je $a\in\{110,121,132,\ldots,990\}$, tj. kada je $a$ djeljiv s $11$, broj $b$ se može odabrati na još jedan, deseti način.

Brojeva $a$ koji pripadaju skupu $\{110,121,132,\ldots,990\}$ ima onoliko koliki je nepotpuni količnik brojeva $900$ i $11$, to jest $81$.

Traženih brojeva $n$ ima $900\cdot9+81=8100+81=8181$.

Drugo rješenje.

Prema uvjetu zadatka je $n=100\cdot a+b$.

Umnožak $99\cdot a$ je djeljiv s $11$ jer je faktor $99$ djeljiv s $11$ (djeljivost umnoška).

Pribrojnici $99a$ i $a+b$ su djeljivi s $11$, pa je i zbroj $99a+a+b=100a+b$ djeljiv s $11$.

Kako je $100a+b=n$, trebamo odrediti koliko je peteroznamenkastih brojeva $n$ koji su djeljivi s $11$.

Peteroznamenkastih brojeva $n$ ima $99\ 999-9\ 999=90\ 000$ tj. broj $n$ može se odabrati na $9\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10=90\ 000$ načina.

Brojeva $n$ s traženim svojstvom ima onoliko koliki je nepotpuni količnik brojeva $90000$ i $11$, tj. $8181$.