3. Zadatak

Promatramo trokut APC. Njegove stranice imaju duljine $|AP|=24\ \mathrm{cm}, |PC|=18\ \mathrm{cm}$ i $|CA|=30\ \mathrm{cm}$.

Zbroj površina kvadrata konstruiranih nad dvjema kraćim stranicama je

$$18^2+24^2=324+576=900.$$

Površina kvadrata nad njegovom najduljom stranicom je $30^2=900.$

Budući da je $18^2+24^2=30^2$, prema obratu Pitagorinog poučka zaključujemo da je trokut APC pravokutan s pravim kutom pri vrhu P.

Trokuti $\triangle APC$ i $\triangle BPC$ su pravokutni i imaju zajedničku katetu $\overline{CP}$, a prema uvjetu zadatka vrijedi $|AP|=|BP|$.

Prema poučku S-K-S o sukladnosti slijedi da je $\triangle APC\cong\triangle BPC$

pa je $|AC|=|BC|=30\ \mathrm{cm}$, tj. trokut ABC je jednakokračan s osnovicom $\overline{AB}$.

Opseg trokuta ABC jednak je $O=48+2\cdot30=108\ \mathrm{cm}.$

Budući da je $\overline{CP}\perp\overline{AB}$, težišnica $\overline{CP}$ ujedno je i visina iz vrha C.

$$P_{ABC}=\frac{|AB|\cdot|CP|}{2}=\frac{48\cdot18}{2}=432\ \mathrm{cm}^2.$$