4. Zadatak

Četverokut ABCD na slici je kvadrat. Dužina $\overline{AF}$ okomita je na dužinu $\overline{BE}$ , pri čemu je $|AF|=4$ cm i $|BF|=3$ cm. Kolika je duljina dužine $\overline{EC}$ ?

Kvadrat ABCD s točkama E i F te okomitim dužinama AF i BE.

Rješenje

Prvi način

Trokut ABF je pravokutan, a hipotenuza tog trokuta je stranica kvadrata ABCD.

Primjenom Pitagorinog poučka na trokut ABF dobivamo $|AB|^2=3^2+4^2=25$ , tj. duljina stranice kvadrata je $|AB|=5\ \mathrm{cm}.$

Kvadrat ABCD s označenim kutovima za prvi način sličnosti trokuta.

Pravac EB je presječnica paralelnih pravaca AB i CD pa je $\angle FBA\cong\angle BEC$ .

Pravokutni trokuti $\triangle ABF$ i $\triangle BEC$ imaju dva para sukladnih kutova ( $\angle FBA\cong\angle BEC$ i $\angle AFB\cong\angle ECB$ ) pa su prema poučku K-K o sličnosti ta dva trokuta slična.

Duljine odgovarajućih stranica trokuta $\triangle ABF$ i $\triangle BEC$ su proporcionalne, tj. vrijedi $|BF|:|EC|=|AF|:|BC|.$

Uvrštavanjem poznatih podataka nalazimo $3:|EC|=4:5,$

a onda slijedi $|EC|=15:4=3.75\ \mathrm{cm}.$

Drugi način

Trokut ABF je pravokutan, a hipotenuza tog trokuta je stranica kvadrata ABCD.

Primjenom Pitagorinog poučka na trokut ABF dobivamo $|AB|^2=3^2+4^2=25$ , tj. duljina stranice kvadrata je $|AB|=5\ \mathrm{cm}.$

Kvadrat ABCD s označenim kutovima za drugi način sličnosti trokuta.

Budući da je $\overline{AF}\perp\overline{BF}$ i $\overline{AB}\perp\overline{CB}$ , šiljasti kutovi $\angle BAF$ i $\angle CBE$ imaju međusobno okomite krakove, tj. kutovi $\angle BAF$ i $\angle CBE$ su sukladni.

Pravokutni trokuti $\triangle ABF$ i $\triangle BEC$ imaju dva para sukladnih kutova ( $\angle BAF\cong\angle CBE$ i $\angle AFB\cong\angle ECB$ ) pa su prema poučku K-K o sličnosti ta dva trokuta slična.

Duljine odgovarajućih stranica trokuta $\triangle ABF$ i $\triangle BEC$ su proporcionalne, tj. vrijedi $|BF|:|EC|=|AF|:|BC|.$

Uvrštavanjem poznatih podataka nalazimo $3:|EC|=4:5,$

a onda slijedi $|EC|=15:4=3.75\ \mathrm{cm}.$