4. Zadatak

Prvi način:

Kako bismo prebrojili koliko ima prirodnih brojeva koji su manji ili jednaki $2\ 019$, a koji nisu djeljivi zadanim brojevima, prebrojimo sve one brojeve koji su tim brojevima djeljivi.

Brojeva koji su djeljivi brojem 6 ima 336, jer je $2\ 019:6=336$ i ostatak 3.

Brojeva koji su djeljivi brojem 9 ima 224, jer je $2\ 019:9=224$ i ostatak 3.

Brojeva koji su djeljivi brojem 15 ima 134, jer je $2\ 019:15=134$ i ostatak 9.

Ukoliko zbrojimo koliko ima pojedinih višekratnika, neke od njih smo brojali više puta.

Brojeve koji su djeljivi i brojem 6 i brojem 9, tj. brojem $V(6, 9)=18$, brojali smo dva puta.

Na isti način smo brojeve djeljive brojevima $V(6, 15)=30$ i $V(9, 15)=45$ brojali dva puta.

Brojeve djeljive brojem $V(6, 9, 15)=90$ brojali smo tri puta.

Brojeva koji su djeljivi brojem 18 ima 112, jer je $2\ 019:18=112$ i ostatak 3.

Brojeva koji su djeljivi brojem 30 ima 67, jer je $2\ 019:30=67$ i ostatak 9.

Brojeva koji su djeljivi brojem 45 ima 44, jer je $2\ 019:45=44$ i ostatak 39.

Brojeva koji su djeljivi brojem 90 ima 22, jer je $2\ 019:90=22$ i ostatak 39.

$$336+224+134-(112+67+44)+22=694-223+22=493$$

Prirodnih brojeva koji su manji ili jednaki $2\ 019$, a koji su djeljivi brojevima 6, 9 ili 15 ima 493.

Traženih brojeva tada ima

$$2\ 019-493=1\ 526.$$

Prirodnih brojeva koji su manji ili jednaki $2\ 019$, a koji nisu djeljivi s niti jednim od brojeva 6, 9 i 15 ima 1 526.

Drugi način:

Neka je Š skup brojeva koji su djeljivi brojem 6, D skup brojeva koji su djeljivi brojem 9, a P skup brojeva koji su djeljivi brojem 15.

Brojeva koji su djeljivi brojevima 6, 9 i 15, odnosno koji su djeljivi s $V(6, 9, 15)=90$ ima 22, jer je $2\ 019:90=22$ i ostatak 39.

Brojeva koji su djeljivi brojevima 6 i 9, odnosno koji su djeljivi s $V(6, 9)=18$ ima 112, jer je $2\ 019:18=112$ i ostatak 3.

$$112=22+90$$

Brojeva koji su djeljivi brojevima 9 i 15, odnosno koji su djeljivi s $V(9, 15)=45$ ima 44, jer je $2\ 019:45=44$ i ostatak 39.

$$44=22+22$$

Brojeva koji su djeljivi brojevima 6 i 15, odnosno koji su djeljivi s $V(6, 15)=30$ ima 67, jer je $2\ 019:30=67$ i ostatak 9.

$$67=22+45$$

Brojeva koji su djeljivi brojem 6 ima 336, jer je $2\ 019:6=336$ i ostatak 3.

$$336=22+45+90+179$$

Brojeva koji su djeljivi brojem 9 ima 224, jer je $2\ 019:9=224$ i ostatak 3.

$$224=22+90+22+90$$

Brojeva koji su djeljivi brojem 15 ima 134, jer je $2\ 019:15=134$ i ostatak 9.

$$134=22+45+22+45$$

Brojeva koji nisu djeljivi s niti jednim od brojeva 6, 9 i 15 ima

$$2\ 019-(22+90+22+45+179+90+45)=2\ 019-493=1\ 526.$$