4. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo s $a$ broj skokova udesno i s $b$ broj skokova ulijevo.

Tada je $7a-4b=2024$ za prirodne brojeve $a$ i $b$, tj.

$$7a=2024+4b=4\cdot(506+b),$$

pa $7$ mora dijeliti $506+b$.

Budući da $506$ daje ostatak $2$ pri dijeljenju sa $7$, $b$ pri dijeljenju sa $7$ mora davati ostatak $5$.

Želimo što manji $b$ i što manji $a$, pa uzimamo $b=5$ i dobivamo $a=292$.

Ukupno je potrebno najmanje $292+5=297$ skokova.

Drugo rješenje.

Uočimo da nije važno kojim redom žaba izvrši skokove već samo koliko skokova učini ulijevo, a koliko udesno.

Pretpostavimo da žaba prvo skače ulijevo. Žaba mora prvo skakati ulijevo sve dok ukupan broj lopoča koje mora preskočiti udesno ne bude djeljiv sa $7$.

Pri dijeljenju sa $7$:

$2024$ daje ostatak $1$,

$2028$ daje ostatak $5$ ($1$ skok ulijevo),

$2032$ daje ostatak $2$ ($2$ skoka ulijevo),

$2036$ daje ostatak $6$ ($3$ skoka ulijevo),

$2040$ daje ostatak $3$ ($4$ skoka ulijevo),

$2044$ je djeljiv sa $7$ ($5$ skokova ulijevo).

Žaba nakon $5$ skokova ulijevo treba napraviti još $2044:7=292$ skokova udesno.

Ukupno je potrebno najmanje $292+5=297$ skokova.

Treće rješenje.

Dijeljenjem zaključujemo da je $2024:7=289$ i ostatak $1$.

Dakle, žabi je potrebno više od $289$ skokova da se pomakne za točno $2024$ lopoča udesno.

Skačući $289$ skokova udesno pomakne se za točno $2023$ lopoča udesno.

Žaba se mora pomaknuti još jedan lopoč udesno.

Stoga će morati barem još jednom skočiti udesno za $7$ lopoča, bez obzira skoči li prije toga neki broj puta ulijevo. Dakle, žaba će morati napraviti više od $290$ skokova.

Budući da će sigurno imati barem $290$ skokova udesno, žaba će se pomaknuti barem za $2030$ lopoča udesno. Stoga će morati nekad napraviti i barem dva skoka ulijevo, te će ukupno napraviti više od $292$ skokova.

Ako žaba napravi samo $290$ skokova udesno i $2$ skoka ulijevo naći će se na $2022.$ lopoču, te zaključujemo da se mora pomaknuti još dva lopoča udesno. Ponavljamo zaključivanje na sličan način: žaba će morati skočiti barem još jednom udesno i barem dva puta ulijevo (u nekom trenutku). Dakle, broj skokova je barem $295$.

Ako napravi samo opisane skokove, žaba se nalazi na $2021.$ lopoču. Zato mora barem još jednom skočiti udesno (tada je na $2028.$ lopoču) i barem još jednom ulijevo, te tako dolazi na $2024.$ lopoč. Dakle, žaba zaista može doći do $2024.$ lopoča u $297$ skokova i nije moguće doći u manje skokova.