3. Zadatak

Prvo rješenje.

Budući da se radi o uzastopnim parnim brojevima (razlika susjednih brojeva je konstantna), aritmetička sredina svih brojeva jednaka je aritmetičkoj sredini prvog i zadnjeg broja.

Aritmetička sredina svih brojeva je $1\ 171\ 896:2024=579$.

Neka je $n$ traženi broj.

Tada je $n-4046$ prvi od $2024$ uzastopna parna cijela broja.

Vrijedi:

$$\frac{(n-4046)+n}{2}=579$$ $$n-2023=579$$ $$n=579+2023=2602$$

Drugo rješenje.

Neka je $n+2024$ traženi broj.

Tada je:

$$\underbrace{(n-2022)+\cdots+(n-4)+(n-2)+n+(n+2)+(n+4)+\cdots+(n+2022)+(n+2024)}_{2024\ \text{pribrojnika}} =1\ 171\ 896$$

Nakon uklanjanja zagrada i poništavanja suprotnih brojeva dobijemo:

$$2024n+2024=1\ 171\ 896$$ $$2024n=1\ 171\ 896-2024$$ $$2024n=1\ 169\ 872$$ $$n=1\ 169\ 872:2024$$ $$n=578$$

Najveći među parnim cijelim brojevima koji daju zadani zbroj je

$$n+2024=578+2024=2602.$$

Treće rješenje.

Neka je $n$ traženi broj.

Tada je:

$$\underbrace{n+(n-2)+(n-4)+(n-6)+\cdots+(n-4046)}_{2024\ \text{pribrojnika}} =1\ 171\ 896$$ $$2024n-0-2-4-\cdots-4046=1\ 171\ 896$$

Primijenimo Gaussovu dosjetku kako bismo izračunali zbroj:

$$2024n-2024\cdot4046:2=1\ 171\ 896$$ $$2024n-2024\cdot2023=1\ 171\ 896$$ $$2024\cdot(n-2023)=1\ 171\ 896\qquad/:2024$$ $$n-2023=579$$ $$n=579+2023=2602$$