4. Zadatak

Trokuti $ASB$ i $ASC$ su međusobno sukladni pravokutni trokuti (imaju zajedničku stranicu $\overline{AS}$, $|SB|=|SC|=r$, $|\angle ABS|=|\angle ACS|=90^\circ$), pa je $|\angle BAS|=|\angle CAS|=30^\circ$ i $|\angle BSA|=|\angle CSA|=60^\circ$.

Pravokutni trokut s kutovima veličine $30^\circ$ i $60^\circ$ možemo nadopuniti na jednakostranični trokut, tj. u takvom je trokutu hipotenuza dvostruko dulja od kraće katete. Prema tome je

$$|SB|=|SC|=\frac12|AS|=3\ \mathrm{cm}.$$

Primjenom Pitagorina poučka na pravokutni trokut $ASB$ dobivamo da je $|AB|^2=|AS|^2-|SB|^2$, tj.

$$|AB|^2=36-9,$$

odakle je $|AB|=\sqrt{27}=3\sqrt3\ \mathrm{cm}$.

Površina četverokuta $ACSB$ je dvostruko veća od površine pravokutnog trokuta $ASB$, tj.

$$P_{\square ACSB}=2\cdot\frac12\cdot|AB|\cdot|BS|=3\sqrt3\cdot3=9\sqrt3\ \mathrm{cm}^2.$$

Površinu osjenčanog lika dobivamo tako da od površine četverokuta $ACSB$ oduzmemo površinu $P_1$ kružnog isječka kružnice polumjera $3$ cm kojemu odgovara središnji kut veličine $120^\circ$.

Dakle,

$$P_1=\frac13r^2\pi=3\pi.$$

Površina osjenčanog lika je $(9\sqrt3-3\pi)\ \mathrm{cm}^2$.