3. Zadatak

Vrijedi

$$(9n+1)^2-(n+9)^2=(9n+1+n+9)(9n+1-n-9)$$ $$=(10n+10)(8n-8)=80(n+1)(n-1).$$

Kako je $n$ prost broj veći od $3$, onda je $n$ neparan pa su $n+1$ i $n-1$ parni brojevi.

Dakle, $n-1$ i $n+1$ su uzastopni parni brojevi. To znači da je jedan od njih djeljiv s $4$, a drugi s $2$.

Također, $n-1$, $n$, $n+1$ su tri uzastopna prirodna broja te jedan od njih mora biti djeljiv s $3$. S obzirom da je $n$ prost broj veći od $3$, jedan od brojeva $n-1$ ili $n+1$ je djeljiv s $3$.

Na kraju je

$$(9n+1)^2-(n+9)^2=80\cdot4\cdot2\cdot3\cdot m=1920\cdot m$$

za $m\in\mathbb N$ pa je time tvrdnja dokazana.