5. Zadatak

Ako se osam brojeva smjesti nekim redom u kružnom poretku, dobije se osam zbrojeva od po četiri uzastopno smještena broja. Kako je svaki od brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8 pribrojnik u točno četiri zbroja, onda je zbroj tih osam zbrojeva jednak

$$4\cdot(1+2+3+4+5+6+7+8)=4\cdot36=144.$$

Pretpostavimo li da je $m=18$, svih spomenutih osam zbrojeva bi moralo biti jednako 18 jer je $8\cdot18=144$.

No ako je $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ nekih pet uzastopno smještenih brojeva, onda je $a+b+c+d\ne b+c+d+e$ jer je $a\ne e$. To znači da $m$ ne može biti 18, odnosno vrijedi $m>18$.

Odredimo jedan raspored tako da najveći zbroj neka četiri uzastopno smještena broja jednak 19.

Smjestimo brojeve tako da brojevi 8 i 7 ne budu u istom zbroju, kao ni brojevi 6 i 5, 4 i 3 te 2 i 1, na način prikazan na slici.

Traženih osam zbrojeva je:

$$\begin{aligned} 1+4+5+8&=18,\\ 4+5+8+2&=19,\\ 5+8+2+3&=18,\\ 8+2+3+6&=19,\\ 2+3+6+7&=18,\\ 3+6+7+1&=17,\\ 6+7+1+4&=18,\\ 7+1+4+5&=17, \end{aligned}$$

pa je $m=19$.