3. Zadatak

Neka je $\overline{abcd}$ broj s traženim svojstvom i neka je $x$ zbroj znamenaka broja $n$, a $y$ zbroj znamenaka broja $n+1$. Onda je $x=a+b+c+d$.

Ako je $d\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$ onda je $n+1=\overline{abc(d+1)}$ i $y=a+b+c+d+1=x+1$.

To znači da je $y$ neposredni sljedbenik od $x$, pa su $x$ i $y$ različite parnosti što je suprotno uvjetu zadatka.

Zaključujemo da je $d=9$.

Tražimo, dakle, sve brojeve oblika $n=\overline{abc9}$ manje od 2 020 sa svojstvom da su $x$ i $y$ neparni.

Kako je $x=a+b+c+9$, a 9 je neparan, onda $a+b+c$ mora biti paran.

Razmotrimo prvu mogućnost, $c\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$.

Tada je $n+1=\overline{ab(c+1)0}$, pa je $y=a+b+(c+1)+0=a+b+c+1$ i on je neparan ako je $a+b+c$ paran.

Stoga tražimo sve brojeve oblika $n=\overline{abc9}$ manje od 2 020, tako da vrijedi:

$$a\in\{0,1,2\},\quad b\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\},\quad c\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$$

i $a+b+c$ je paran.

1. Ako je $a=0$, onda je $b+c$ paran i postoje sljedeće mogućnosti:

	paran + paran	neparan + neparan
$b$	5 mogućnosti $b\in\{0,2,4,6,8\}$	5 mogućnosti $b\in\{1,3,5,7,9\}$
$c$	5 mogućnosti $c\in\{0,2,4,6,8\}$	4 mogućnosti $c\in\{1,3,5,7\}$
$b+c$	25 mogućnosti	20 mogućnosti

Za $a=0$ postoji ukupno 45 mogućnosti.

2. Ako je $a=1$, onda je $b+c$ neparan i postoje sljedeće mogućnosti:

	paran + neparan	neparan + paran
$b$	5 mogućnosti $b\in\{0,2,4,6,8\}$	5 mogućnosti $b\in\{1,3,5,7,9\}$
$c$	4 mogućnosti $c\in\{1,3,5,7\}$	5 mogućnosti $c\in\{0,2,4,6,8\}$
$b+c$	20 mogućnosti	25 mogućnosti

Za $a=1$ postoji ukupno 45 mogućnosti.

3. Ako je $a=2$, onda je $b=0$ i $c\in\{0,1\}$ jer je $d=9$ i prema uvjetu zadatka $n=\overline{abc9}<2020$.

Kako $a+b+c$ mora biti paran, $2+0+c=2+c$, pa $c$ mora biti paran, tj. $c=0$.

Za $a=2$ postoji jedna mogućnost, broj 2009.

Dakle, za $c\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$ postoji $45+45+1=91$ broj koji zadovoljava uvjete zadatka.

Razmotrimo sada i drugu mogućnost, $c=9$.

Ako je $c=9$ i $b\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$, onda je $n=\overline{ab99}$, pa je $x=a+b+9+9=a+b+18$ neparan ako je $a+b$ neparan.

No u tom slučaju je $n+1=\overline{a(b+1)00}$, pa je $y=a+b+1+0+0=a+b+1$.

Prema uvjetu zadatka i $y$ mora biti neparan, što je nemoguće jer je $a+b$ neparan pa je $a+b+1$ paran broj.

Dakle, za $c=9$ također je i $b=9$, pa je $n=\overline{a999}$.

No $x=a+9+9+9=a+27$ je neparan pa $a$ mora biti paran tj. $a\in\{0,2\}$.

Za $a=0$ postoji rješenje $n=999$, a za $a=2$ rješenje 2 999 ne zadovoljava uvjete zadatka (prirodni brojevi manji od 2 020).

Dakle, za $c=9$ postoji samo jedna mogućnost, broj 999.

Konačno, zaključujemo da postoji $91+1=92$ prirodna broja $n$ koji zadovoljavaju uvjete zadatka.