4. Zadatak

Skica:

ABNM je četverokut s okomitim dijagonalama $\overline{AN}$ i $\overline{BM}$. Da bi taj četverokut bio romb, dovoljno je dokazati da su mu sve četiri stranice sukladne.

Primijetimo da je $|\angle DBA|=|\angle DCA|$ (obodni kutovi nad tetivom $\overline{AD}$) i $|\angle DCA|=|\angle NBD|$ ($CA\perp BD$ i $CD\perp BN$ pa su kutovi s okomitim kracima iste vrste).

Slijedi $|\angle OBA|=|\angle DBA|=|\angle NBD|=|\angle NBO|$.

Uz zajedničku stranicu $\overline{OB}$, $|\angle OBA|=|\angle NBO|$ i $|\angle AOB|=|\angle BON|=90^\circ$, prema K-S-K poučku o sukladnosti trokuta je $\triangle ABO\cong\triangle NOB$, odakle slijedi $|AB|=|NB|$.

Također je i $|AO|=|ON|$ što znači da je pravac BM simetrala dužine $\overline{AN}$ (pravac BM je okomit na dužinu $\overline{AN}$ i prolazi njenim polovištem).

M je točka na simetrali dužine $\overline{AN}$, pa je $|AM|=|NM|$.

Preostalo je još dokazati da je $|AB|=|AM|$.

Neka je P nožište okomice iz točke A na pravac CD.

Tada je prema K-K poučku o sličnosti trokuta $\triangle ABO\sim\triangle ACP$ ($|\angle OBA|=|\angle DCA|=|\angle PCA|$ i $|\angle APC|=|\angle AOB|=90^\circ$), pa slijedi $|\angle OAM|=|\angle CAP|=|\angle BAO|$.

Sada je prema K-S-K poučku o sukladnosti trokuta ($|\angle OAM|=|\angle BAO|$, $\overline{AO}$ zajednička stranica, $|\angle MOA|=|\angle AOB|=90^\circ$) slijedi $\triangle AOM\cong\triangle ABO$, odakle je $|AB|=|AM|$ te je četverokut ABNM romb.

Napomena: Da je $|AB|=|AM|$ možemo dokazati i na drugi način. Pravci AM i BN su usporedni jer su oba okomita na isti pravac CD. Zaključujemo da je $|\angle MAO|=|\angle ONB|$ (kutovi uz presječnicu iste vrste) te je $|\angle ONB|=|\angle OAB|$ iz već dokazane sukladnosti trokuta $\triangle ABO$ i $\triangle NOB$.

Odavde je $|\angle MAO|=|\angle OAB|$, pa uz zajedničku stranicu $\overline{OA}$ i $|\angle AOB|=|\angle MOA|=90^\circ$ prema K-S-K teoremu o sukladnosti trokuta slijedi $\triangle ABO\cong\triangle MAO$ i vrijedi $|AB|=|AM|$.