2. Zadatak

Prvi način:

Postoje tri načina rezanja štapića na manje dijelove zadanih duljina.

1. način: $13\text{ cm}=3\text{ cm}+3\text{ cm}+3\text{ cm}+4\text{ cm}$

2. način: $13\text{ cm}=4\text{ cm}+4\text{ cm}+5\text{ cm}$

3. način: $13\text{ cm}=5\text{ cm}+5\text{ cm}+3\text{ cm}$

S obzirom da se niti na jedan od ta tri načina rezanja ne dobivaju dijelovi sve tri tražene duljine, moraju se koristiti sva tri načina rezanja štapića.

Štapiće treba izrezati tako da bude $13$ dijelova duljine $3\text{ cm}$, $13$ dijelova duljine $4\text{ cm}$ i $13$ dijelova duljine $5\text{ cm}$.

Ako bi $5$ štapića ili više izrezali 1. načinom rezanja, dobilo bi se $15$ dijelova ili više duljine $3\text{ cm}$ što ne odgovara.

Ako bi $4$ štapića izrezali 1. načinom rezanja, dobilo bi se $12$ dijelova duljine $3\text{ cm}$ pa bi trebalo još $1$ štapić izrezati 3. načinom rezanja kako bi bilo $13$ dijelova duljine $3\text{ cm}$. Tada bi se preostalih $7$ štapića trebalo izrezati 2. načinom rezanja što bi dalo $18$ dijelova duljine $4\text{ cm}$, a to ne odgovara.

Ako bi $3$ štapića izrezali 1. načinom rezanja, dobilo bi se $9$ dijelova duljine $3\text{ cm}$ pa bi trebalo još $4$ štapića izrezati 3. načinom rezanja kako bi bilo $13$ dijelova duljine $3\text{ cm}$. Tada bi se preostalih $5$ štapića trebalo izrezati 2. načinom rezanja što bi dalo i $13$ dijelova duljine $4\text{ cm}$ i $13$ dijelova duljine $5\text{ cm}$.

Ako bi $2$ štapića izrezali 1. načinom rezanja, dobilo bi se $6$ dijelova duljine $3\text{ cm}$ pa bi trebalo još $7$ štapića izrezati 3. načinom rezanja kako bi bilo $13$ dijelova duljine $3\text{ cm}$. No, tada bi već imali $14$ dijelova duljine $5\text{ cm}$ što ne odgovara.

Ako bi $1$ štapić izrezali 1. načinom rezanja, dobilo bi se $3$ dijela duljine $3\text{ cm}$ pa bi trebalo još $10$ štapića izrezati 3. načinom rezanja kako bi bilo $13$ dijelova duljine $3\text{ cm}$. No, tada bi već imali $20$ dijelova duljine $5\text{ cm}$ što ne odgovara.

Dakle, tri štapića treba izrezati na dijelove duljina $3\text{ cm}$, $3\text{ cm}$, $3\text{ cm}$ i $4\text{ cm}$, četiri štapića na dijelove duljina $3\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ i $5\text{ cm}$ i pet štapića na dijelove duljina $4\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ i $5\text{ cm}$.

Drugi način:

Postoje tri načina rezanja štapića na manje dijelove zadanih duljina.

1. način: $13\text{ cm}=3\text{ cm}+3\text{ cm}+3\text{ cm}+4\text{ cm}$

2. način: $13\text{ cm}=4\text{ cm}+4\text{ cm}+5\text{ cm}$

3. način: $13\text{ cm}=5\text{ cm}+5\text{ cm}+3\text{ cm}$

S obzirom da se niti na jedan od ta tri načina rezanja ne dobivaju dijelovi sve tri tražene duljine, moraju se koristiti sva tri načina rezanja štapića.

Neka su $m$, $l$, $k$ količine štapića koje smo redom izrezali na 1., 2. i 3. način rezanja.

Tada je $m+l+k=12$ odnosno $3m+3l+3k=36$.

Štapiće treba izrezati tako da bude $13$ dijelova duljine $3\text{ cm}$, $13$ dijelova duljine $4\text{ cm}$ i $13$ dijelova duljine $5\text{ cm}$.

Zato vrijedi $3m+k=13$, $m+2l=13$ i $l+2k=13$ odnosno nakon zbrajanja

$$4m+3l+3k=39.$$

Iz $4m+3l+3k=39$ i $3m+3l+3k=36$ slijedi $m=3$.

Dalje je $k=4$ i $l=5$.

Dakle, tri štapića treba izrezati na dijelove duljina $3\text{ cm}$, $3\text{ cm}$, $3\text{ cm}$ i $4\text{ cm}$, četiri štapića na dijelove duljina $3\text{ cm}$, $5\text{ cm}$ i $5\text{ cm}$ i pet štapića na dijelove duljina $4\text{ cm}$, $4\text{ cm}$ i $5\text{ cm}$.