4. Zadatak

Trokut $ABC$ je jednakokračan pa vrijedi da je

$$|\angle BAC|=|\angle CBA|=\beta.$$

Pravac $AD$ je simetrala kuta $\angle BAC$ pa je

$$|\angle BAD|=|\angle DAC|=\frac{\beta}{2}.$$

Točka $D$ pripada simetrali stranice $\overline{AC}$ pa je jednako udaljena od točaka $A$ i $C$ odnosno vrijedi da je

$$|AD|=|DC|.$$

Trokut $ADC$ je jednakokračan te je

$$|\angle DAC|=|\angle ACD|=\frac{\beta}{2}.$$

U trokutu $ABC$ veličine unutarnjih kutova su $\beta$, $\beta$ i $\frac{\beta}{2}$ pa vrijedi $\beta+\beta+\frac{\beta}{2}=180^\circ$ te je $\beta=72^\circ$.

U jednakokračnom trokutu $ADC$ kut $\angle CDA$ je kut između krakova pa slijedi

$$|\angle CDA|=180^\circ-2\cdot\frac{\beta}{2}=180^\circ-\beta=180^\circ-72^\circ=108^\circ.$$

Napomena:

Na kraju se može utvrditi da je kut $\angle CDA$ vanjski kut trokuta $ABD$ pa vrijedi da je

$$|\angle CDA|=\beta+\frac{\beta}{2}=72^\circ+\frac{72^\circ}{2}=108^\circ.$$

Može se na kraju utvrditi da u trokutu $ABD$ za veličinu kuta $\angle ADB$ vrijedi

$$|\angle ADB|=180^\circ-\left(\beta+\frac{\beta}{2}\right)=180^\circ-\left(72^\circ+36^\circ\right)=72^\circ,$$

a kako je kut $\angle CDA$ sukut kuta $\angle ADB$ vrijedi da je

$$|\angle CDA|=180^\circ-72^\circ=108^\circ.$$