5. Zadatak

Prvi način:

Trokut $ABC$ je jednakokračan i pravokutan trokut pa je $a=|AC|=|BC|$ i $c=|AB|$.

Neka je točka $D$ nožište okomice iz točke $R$ na pravac $SB$.

Kutovi $\angle CBA$ i $\angle DBR$ su šiljasti kutovi s okomitim kracima jer je $BC\perp BD$ i $AB\perp BR$ pa vrijedi da je

$$|\angle CBA|=|\angle DBR|=45^\circ.$$

Trokut $BDR$ je pravokutan pa je

$$|\angle BRD|=90^\circ-|\angle DBR|=90^\circ-45^\circ=45^\circ=|\angle BAC|.$$

Budući da je četverokut $APRB$ kvadrat, onda je $|BR|=|AB|=c$. Osim toga, $|\angle BRD|=|\angle BAC|$ i $|\angle DBR|=|\angle CBA|$ pa prema poučku K-S-K o sukladnosti trokuta slijedi da je $\triangle RBD\cong\triangle ABC$.

Posljedica sukladnosti jest da je $|DR|=|CA|=a$. Dužina $\overline{DR}$ je visina tupokutnog trokuta $BRS$ na stranicu $\overline{BS}$ pa je

$$P_{\triangle BRS}=\frac{|BS|\cdot|DR|}{2}=\frac{a\cdot a}{2}.$$

Zbog simetričnosti također vrijedi

$$P_{\triangle AVP}=\frac{a\cdot a}{2}.$$

Trokuti $ABC$ i $CTU$ su pravokutni s katetama duljine $a$ pa vrijedi da je

$$P_{\triangle ABC}=P_{\triangle CTU}=\frac{a\cdot a}{2}.$$

Dakle,

$$P_{\triangle ABC}+P_{\triangle CTU}+P_{\triangle AVP}+P_{\triangle BRS}=4\cdot\frac{a\cdot a}{2}=2\cdot a\cdot a.$$

S obzirom da je

$$P_{BSTC}+P_{ACUV}=a\cdot a+a\cdot a=2\cdot a\cdot a,$$

tvrdnja je dokazana.

Drugi način:

Nacrtaju li se dijagonale kvadrata $BSTC$ i $ACUV$ (uz oznake kao na slici), vrijedi da su trokuti $ABC$, $BTC$, $TBS$, $TUC$, $UAC$ i $AUV$ sukladni. Naime, navedeni trokuti su pravokutni s katetama jednakih duljina pa su prema poučku S-K-S o sukladnosti trokuta sukladni.

Vrijedi da je

$$P_{\triangle ABC}+P_{\triangle CTU}=P_{\triangle TBS}+P_{\triangle BTC}=P_{BSTC}.$$

Također, vrijedi da je $|\angle BAC|=|\angle CAU|=45^\circ$ i $|\angle PAB|=90^\circ$ pa su točke $P$, $A$, $E$ i $U$ kolinearne.

Dijagonale kvadrata okomite su i raspolovljuju se pa je $\overline{VC}\perp\overline{AU}$, a točka $E$ polovište je dijagonala kvadrata $ACUV$. Dužina $\overline{EV}$ visina je trokuta $AUV$ na stranicu $\overline{AU}$, ali je i visina tupokutnog trokuta $AVP$ na stranicu $\overline{AP}$.

Trokuti $ABC$ i $UAC$ su sukladni pa slijedi da je $|AU|=|AB|=|AP|$.

Dalje vrijedi

$$P_{\triangle AVP}=\frac{|AP|\cdot|EV|}{2}=\frac{|AU|\cdot|EV|}{2}=P_{\triangle AUV}.$$

Na isti način se pokaže da je $P_{\triangle BRS}=P_{\triangle TBS}$.

Slijedi $P_{\triangle BRS}=P_{\triangle TBS}=P_{\triangle ACU}$.

Vrijedi da je

$$P_{\triangle AVP}+P_{\triangle BRS}=P_{\triangle AUV}+P_{\triangle ACU}=P_{ACUV}$$

čime je dokazana tvrdnja da je

$$P_{\triangle ABC}+P_{\triangle CTU}+P_{\triangle AVP}+P_{\triangle BRS}=P_{BSTC}+P_{ACUV}.$$