2. Zadatak

Nogometna liga ima više od 20, a manje od 30 nogometnih klubova. Svaki klub sa svakim drugim odigra tijekom jedne sezone dvije utakmice, jednu kod kuće i jednu u gostima. Koliko je bilo neriješenih utakmica tijekom sezone ako se zna da je 15% utakmica završilo neriješenim rezultatom?

Neka je $n$ broj nogometnih klubova. Tada je $20<n<30$ .

Tijekom godine odigra se $n\cdot(n-1)$ utakmica.

Neriješenih utakmica je bilo

15\%\cdot n\cdot(n-1)=\frac{15}{100}\cdot n\cdot(n-1)=\frac{3}{20}\cdot n\cdot(n-1).

Kako je broj neriješenih utakmica prirodni broj, slijedi da je $n\cdot(n-1)$ djeljiv s 20.

S obzirom da su $n$ i $n-1$ uzastopni prirodni brojevi, oni su različite parnosti. To znači da je ili $n$ djeljiv s 20 ili $n-1$ djeljiv s 20 ili je jedan od tih faktora djeljiv s 5, a drugi s 4.

$n$	21	22	23	24	25	26	27	28	29
$n-1$	20	21	22	23	24	25	26	27	28

slijedi $n\in\{21,25\}$ .

Dakle, bilo je ili 63 ili 90 neriješenih utakmica.