5. Zadatak

Kako je $ABCDEF$ pravilni šesterokut, onda su njegovi karakteristični trokuti jednakostranični.

Neka je $a$ duljina stranice pravilnog šesterokuta $ABCDEF$.

Tada je $|FS|=|FE|=a$.

Dalje je $\lvert\angle FSM\rvert=60^\circ+60^\circ=120^\circ$ i $\lvert\angle FEN\rvert=60^\circ+60^\circ=120^\circ$.

Kako je točka $M$ polovište dužine $\overline{BS}$, a točka $N$ polovište dužine $\overline{DE}$, vrijedi

$$|SM|=|EN|=\frac{a}{2}.$$

Prema poučku S-K-S o sukladnosti slijedi $\triangle FMS\cong\triangle FNE$.

Iz sukladnosti slijedi $|FM|=|FN|$ i $\lvert\angle MFS\rvert=\lvert\angle NFE\rvert$.

Na kraju,

$$\lvert\angle MFN\rvert=\lvert\angle MFS\rvert+\lvert\angle SFN\rvert=\lvert\angle NFE\rvert+\lvert\angle SFN\rvert=\lvert\angle SFE\rvert=60^\circ.$$

Tada je i $\lvert\angle FNM\rvert=60^\circ$, a to znači da je $\triangle NFM$ jednakostraničan.