1. Zadatak

Neka su to razlomci $\frac{a}{b}$, $\frac{c}{d}$, $\frac{e}{f}$, pri čemu su $a,b,c,d,e,f\in\mathbb{N}$.

Kako je $a:c:e=1:3:5$, onda je $c=3a$ i $e=5a$.

S obzirom da je $b:d=1:2$, onda je $d=2b$.

Budući da je $d:f=4:9$, onda je

$$f=\frac{9}{4}d=\frac{9}{2}b.$$

Zato vrijedi

$$\frac{a}{b}+\frac{3a}{2b}+\frac{5a}{\frac{9}{2}b}=\frac{65}{72}$$

odnosno

$$\frac{a}{b}+\frac{3a}{2b}+\frac{10a}{9b}=\frac{65}{72}.$$

Dalje je

$$\frac{18a+27a+20a}{18b}=\frac{65}{72}$$

odnosno

$$\frac{65a}{18b}=\frac{65}{72}.$$

Kako je $\frac{a}{b}$ neskrativ razlomak, onda slijedi $a=1$ i $b=4$.

Na kraju, $c=3$, $e=5$, $d=8$, $f=18$.

Traženi razlomci su

$$\frac{1}{4},\frac{3}{8},\frac{5}{18}.$$