3. Zadatak

Označimo s $x$ prvi član niza. Ako je $y$ drugi član niza, tada je $x+\frac1y=1$ pa je $y=\frac1{1-x}$.

Ako je $z$ treći član niza, tada je $\frac1{1-x}+\frac1z=1$ pa je $\frac1z=1-\frac1{1-x}=\frac{-x}{1-x}$, odnosno, tada je $z=\frac{x-1}{x}$.

Ako je $w$ četvrti član niza, tada je $\frac{x-1}{x}+\frac1w=1$ pa je $\frac1w=1-\frac{x-1}{x}=\frac1x$, odnosno $w=x$.

Time smo dobili da je četvrti član niza jednak prvome pa je jasno da niz ima period $3$ i da su njegovi elementi $x$, $\frac1{1-x}$, $\frac{x-1}{x}$, $x$, $\frac1{1-x}$, $\frac{x-1}{x}$, $x$, $\ldots$

Kako je $2024=674\cdot3+2$ i kako je $x\cdot\frac1{1-x}\cdot\frac{x-1}{x}=-1$,

slijedi da je umnožak prvih $2022$ člana jednak $(-1)^{674}=1$.

Umnožak svih brojeva je $2$, pa vrijedi $x\cdot\frac1{1-x}=2$, tj.

$$x=2-2x,$$

iz čega dobivamo

$$x=\frac23.$$

$123=41\cdot3$ pa je $123.$ član niza jednak trećem članu niza tj. $\frac{x-1}{x}=\frac{\frac23-1}{\frac23}=-\frac12$.