5. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo s $n\in\mathbb N$ broj članova obitelji.

Neka je $k$ količina kave, a $m$ količina mlijeka koju je u svoju šalicu natočio jedan od članova obitelji pa vrijedi $k+m=1.8$.

Svaki član obitelji u svoju je šalicu natočio $1.8$ dL bijele kave pa su svi članovi obitelji zajedno u svoje šalice natočili $1.8n$ dL bijele kave. Jedan od članova obitelji je u svoju šalicu natočio jednu osminu ukupne količine kave i jednu petinu ukupne količine mlijeka pa imamo $8k+5m=1.8n$.

Izrazimo količinu kave $k$ ovisno o broju članova obitelji $n$.

Iz jednakosti $k+m=1.8$ dobivamo $m=1.8-k$.

Uvrštavanjem dobivenog izraza jednakost $8k+5m=1.8n$ imamo:

$$8k+5(1.8-k)=1.8n$$ $$8k+9-5k=1.8n$$ $$3k=1.8n-9\quad/:3$$ $$k=0.6n-3$$

Na sličan način izražavamo količinu mlijeka $m$ ovisno o broju članova obitelji $n$ te dobivamo

$$m=4.8-0.6n$$

Svaki član obitelji je u svoju šalicu ulio i kavu i mlijeko pa je $k>0$ i $m>0$.

Stoga je $0.6n-3>0$ i $4.8-0.6n>0$.

Iz $0.6n-3>0$ slijedi $0.6(n-5)>0$ pa je $n-5>0$, $n>5$.

Iz $4.8-0.6n>0$ slijedi $0.6(8-n)>0$ pa je $8-n>0$, $n<8$.

Dakle, broj osoba na doručku bi jedino mogao biti $6$ ili $7$.

Ako je na doručku bilo $6$ osoba onda je:

$$k=0.6\cdot6-3=0.6\text{ dL}\quad\text{i}\quad m=4.8-0.6\cdot6=1.2\text{ dL}.$$

Dakle, jedan od članova obitelji natočio je $0.6$ dL kave i $1.2$ dL mlijeka.

Svi su članovi obitelji zajedno natočili $0.6\text{ dL}\cdot8=4.8$ dL kave i $1.2\text{ dL}\cdot5=6$ dL mlijeka.

Primjer moguće raspodijele kave i mlijeka za $6$ osoba:

osoba	$1.$	$2.$	$3.$	$4.$	$5.$	$6.$	zbroj
količina kave (dL)	$0.6$	$0.8$	$0.9$	$0.3$	$1.2$	$1$	$4.8$
količina mlijeka (dL)	$1.2$	$1$	$0.9$	$1.5$	$0.6$	$0.8$	$6$

Ako je na doručku bilo $7$ osoba onda je:

$$k=0.6\cdot7-3=1.2\text{ dL}\quad\text{i}\quad m=4.8-0.6\cdot7=0.6\text{ dL}.$$

Dakle, jedan od članova obitelji natočio je $1.2$ dL kave i $0.6$ dL mlijeka.

Svi su članovi obitelji zajedno natočili $1.2\text{ dL}\cdot8=9.6$ dL kave i $0.6\text{ dL}\cdot5=3$ dL mlijeka.

Primjer moguće raspodijele kave i mlijeka za $7$ osoba:

osoba	$1.$	$2.$	$3.$	$4.$	$5.$	$6.$	$7.$	zbroj
količina kave (dL)	$1.2$	$1.3$	$1.4$	$1.5$	$1.6$	$1.7$	$0.9$	$9.6$
količina mlijeka (dL)	$0.6$	$0.5$	$0.4$	$0.3$	$0.2$	$0.1$	$0.9$	$3$

Na doručku je zaista moglo biti ili $6$ ili $7$ osoba.

Drugo rješenje.

Neka je $x$ ukupna količina kave, i neka je $y$ ukupna količina mlijeka.

Jedan od članova je natočio $\frac18$ ukupne količine kave i $\frac15$ ukupne količine mlijeka i napravio $1.8$ dL bijele kave. Iz toga slijedi:

$$\frac18x+\frac15y=1.8.$$

Nakon množenja jednadžbe s $40$ dobivamo:

$$5x+8y=72\quad\text{odnosno}\quad5x=72-8y.$$

Znamo da su svi članovi (označimo broj članova obitelji s $n$) napravili istu količinu bijele kave i popili svu kavu i svo mlijeko pa imamo:

$$x+y=1.8\cdot n\qquad/\cdot5$$ $$5x+5y=9n$$

Ako izrazimo $n$ iz dane jednadžbe i uvrstimo gornji izraz za $5x$ dobivamo:

$$72-8y+5y=9n$$ $$9n=72-3y\qquad/:9$$ $$n=8-\frac y3$$

S obzirom da je $n$ broj članova obitelji radi se o prirodnom broju, a $x$ i $y$ su količine kave i mlijeka za koje vrijedi $x>0$, $y>0$, vidimo da $n$ mora biti manji od $8$.

Za $n=7$ slijedi: $y=3$, $x=9.6$

Primjer moguće raspodijele kave i mlijeka za $7$ osoba:

osoba	$1.$	$2.$	$3.$	$4.$	$5.$	$6.$	$7.$	zbroj
$x$…količina kave (dL)	$1.2$	$0.05$	$0.15$	$0.25$	$0.35$	$0.45$	$0.55$	$3$
$y$…količina mlijeka (dL)	$0.6$	$1.75$	$1.65$	$1.55$	$1.45$	$1.35$	$1.25$	$9.6$

Za $n=6$ slijedi $y=6$, $x=4.8$.

Primjer moguće raspodijele kave i mlijeka za $6$ osoba:

osoba	$1.$	$2.$	$3.$	$4.$	$5.$	$6.$	zbroj
$x$…količina kave (dL)	$0.6$	$1.06$	$1.07$	$1.08$	$1.09$	$1.10$	$6$
$y$…količina mlijeka (dL)	$1.2$	$0.74$	$0.73$	$0.72$	$0.71$	$0.70$	$4.8$

Za $n=5$ slijedi $y=9$, $x=0$, što nije u skladu s uvjetima zadatka.

Za $n<5$ dobivamo da je $x<0$, što također nije u skladu s uvjetima zadatka.

Na doručku je bilo $6$ ili $7$ članova obitelji.

Treće rješenje.

Neka je $k$ količina kave, a $m$ količina mlijeka koju su popili svi članovi obitelji. Neka je $n$ broj članova obitelji.

Vrijedi $k+m=1.8n$.

Jedan od članova je u svoju šalicu natočio jednu osminu ukupne količine kave i jednu petinu ukupne količine mlijeka pa imamo

$$\frac18k+\frac15m=1.8\qquad/\cdot40$$ $$5k+8m=72$$

Svaki član obitelji je u svoju šalicu ulio i kavu i mlijeko pa je $k>0$ i $m>0$.

Budući se spominje jedan od članova obitelji, obitelj broji najmanje dva člana tj. $n\ge2$.

Iz gornjih jednadžbi vrijedi:

$$5(1.8n-m)+8m=72$$ $$3m=72-9n\quad/:3$$ $$m=24-3n$$

Promotrimo moguće razdiobe kave i mlijeka u ovisnosti o broju članova obitelji.

$n$	$1.8n$	$m=24-3n$	$k=1.8n-m$
$2$	$3.6$	$18$	$-14.4$	Ne zadovoljava uvjet zadatka $k>0$.
$3$	$5.4$	$15$	$-9.6$	Ne zadovoljava uvjet zadatka $k>0$.
$4$	$7.2$	$12$	$-4.8$	Ne zadovoljava uvjet zadatka $k>0$.
$5$	$9$	$9$	$0$	Ne zadovoljava uvjet zadatka $k>0$.
$6$	$10.8$	$6$	$4.8$	$k>0,m>0$ Na doručku je moglo biti $6$ osoba.
$7$	$12.6$	$3$	$9.6$	$k>0,m>0$ Na doručku je moglo biti $7$ osoba.
$8$	$14.4$	$0$	$14.4$	Ne zadovoljava uvjet zadatka $m>0$.
$9$	$16.2$	$-3$	$19.2$	Ne zadovoljava uvjet zadatka $m>0$.
$10$	$18$	$-6$	$24$	Ne zadovoljava uvjet zadatka $m>0$.

Iz tablice se primjećuje da se povećanjem broja članova obitelji za $1$ količina mlijeka smanjuje za $3$ dL, a količina kave povećava za $4.8$ dL.

Za svaki $2\le n\le5$ slijedi da je $k\le0$ što ne zadovoljava uvjet zadatka, a za svaki $n>8$ slijedi da je $m<0$ što ne zadovoljava uvjet zadatka.

Može se zaključiti da je za doručkom moglo biti $6$ ili $7$ članova obitelji.

Primjeri su navedeni u prvom i drugom rješenju.