4. Zadatak

Neka je $D$ sjecište simetrale kuta $\angle BAC$ i stranice $\overline{BC}$ trokuta $ABC$.

Iz uvjeta zadatka slijedi da je $|\angle CBA|=\frac12|\angle BAC|$ ili $\beta=\frac12\alpha$.

Zbog $|\angle DAC|=|\angle BAD|$ prema definiciji simetrale kuta vrijedi jednakost

$$|\angle DAC|=|\angle BAD|=|\angle CBA|=\beta.$$

To znači da je trokut $ABD$ jednakokračan, pa je $|AD|=|BD|$.

Neka je $|AC|=x$, a $|AD|=|BD|=y$.

Tada je $|BC|=x+2.6$, a $|CD|=|BC|-|BD|$, ili $|CD|=x+2.6-y$.

Po K-K poučku trokuti $ADC$ i $ABC$ su slični, tj. $\triangle ADC\sim\triangle ABC$

($|\angle DAC|=|\angle CBA|=\beta$ i $|\angle ACD|=|\angle ACB|=\gamma$).

Zbog sličnosti je $\frac{|AC|}{|AD|}=\frac{|BC|}{|AB|}$ ili $\frac{x}{y}=\frac{x+2.6}{6.5}$ tj. $6.5x=xy+2.6y$.

Zbog sličnosti je $\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{|AC|}{|AB|}$ ili $\frac{x+2.6-y}{y}=\frac{x}{6.5}$ tj. $6.5x+16.9-6.5y=xy$.

Zapišemo jednadžbe tako da ih možemo izjednačiti.

$$6.5x-xy=2.6y$$ $$6.5x-xy=6.5y-16.9$$

Izjednačavanjem desnih strana gornjih jednadžbi dobivamo

$$6.5y-16.9=2.6y,$$

iz čega slijedi $y=\frac{169}{39}=\frac{13}{3}$.

Zamjenom dobivene vrijednosti za $y$ u jednadžbi $\frac{x}{y}=\frac{x+2.6}{6.5}$, dobivamo

$$\frac{3x}{13}=\frac{x+2.6}{6.5}.$$

Slijedi $19.5x=13x+33.8$, tj. $6.5x=33.8$ i $x=5.2$.

Zato je $|AC|=5.2$ cm, a $|BC|=7.8$ cm.