2. Zadatak

Marija u računalo upisuje deveteroznamenkasti prirodni broj koristeći se znamenkama $0$ , $1$ , $2$ , $5$ , $6$ , $8$ i $9$ . Primijetila je da njezino računalo radi pogreške pri ispisu. Na ekranu računalo ispiše broj u obrnutom poretku znamenaka i istodobno zamijeni neke znamenke kako je prikazano u tablici.

UNOS	$0$	$1$	$2$	$5$	$6$	$8$	$9$
ISPIS	$0$	$1$	$5$	$2$	$9$	$8$	$6$

Na primjer, pri unosu broja $211586089$ računalo ispiše $680982115$ .

Koliko ima deveteroznamenkastih prirodnih brojeva koji će se na ekranu ispisati točno onako kako su uneseni?

Prvo rješenje.

Neka je $\overline{abcdefghi}$ deveteroznamenkasti broj.

Po uvjetu zadatka znamenka $e$ će pri zapisivanju broja u obrnutom redoslijedu ostati na istome mjestu pa vrijedi da je $e\in\{0,1,8\}$ .

Znamenka $a$ je vodeća znamenka pa je $a\ne0$ . Znamenke $a$ i $i$ će zamijeniti mjesta pa je $a\in\{1,2,5,6,8,9\}$ , a znamenka $i$ je u potpunosti određena znamenkom $a$ .

Na sličan način se zaključuje: $b\in\{0,1,2,5,6,8,9\}$ , $c\in\{0,1,2,5,6,8,9\}$ i $d\in\{0,1,2,5,6,8,9\}$ , a znamenke $f$ , $g$ i $h$ su u potpunosti određene znamenkama $d$ , $c$ i $b$ .

Traženih brojeva ima: $6\cdot7\cdot7\cdot7\cdot3\cdot1\cdot1\cdot1\cdot1=6174$ .

Drugo rješenje.

Neka je $\overline{abcdefghi}$ deveteroznamenkasti broj. Znamenke $2$ , $5$ , $6$ i $9$ koje se mijenjaju od unosa do ispisa nazovimo „simetrične znamenke“. One se u traženom broju ne moraju pojaviti uopće, mogu se pojaviti samo jednom, dvaput, triput ili četiri puta.

Po uvjetu zadatka znamenka $e$ će pri zapisivanju broja u obrnutom redoslijedu ostati na istome mjestu pa vrijedi da je $e\in\{0,1,8\}$ . Dakle, možemo je birati na $3$ načina, u svakom slučaju.

1.slučaj: „Simetrične znamenke“ se ne pojavljuju u traženom broju.

$a\in\{1,8\}$ , budući je znamenka $a$ vodeća znamenka. Znamenke $a$ i $i$ će zamijeniti mjesta pa je znamenka $i$ u potpunosti određena znamenkom $a$ . Dakle, znamenku $a$ možemo odabrati na $2$ načina.

Slično vrijedi i za znamenke $b$ i $h$ , $b\in\{0,1,8\}$ , $h\in\{0,1,8\}$ . Znamenku $b$ možemo odabrati na $3$ načina, a znamenka $h$ je u potpunosti određena znamenkom $b$ . Isto vrijedi za znamenke $c$ i $g$ te $d$ i $f$ .

Brojeva s traženim svojstvom ima $2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=162$ .

2.slučaj: „Simetrične znamenke“ se pojavljuju jedanput u traženom broju.

Ako se „simetrične znamenke“ nalaze na $2.$ , $3.$ ili $4.$ mjestu, na $1.$ mjestu je onda $a\in\{1,8\}$ i na $5.$ mjestu je $e\in\{0,1,8\}$ .

Brojeva s traženim svojstvom ima $3\cdot(2\cdot4\cdot3\cdot3\cdot3)=648$ .

Ako se „simetrične znamenke“ nalaze na $1.$ mjestu onda je $b\in\{0,1,8\}$ , $c\in\{0,1,8\}$ , $d\in\{0,1,8\}$ te $e\in\{0,1,8\}$ .

Brojeva s traženim svojstvom ima $4\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=324$ .

3.slučaj: „Simetrične znamenke“ se pojavljuju dvaput u traženom broju.

Ako se „simetrične znamenke“ nalaze na $2.$ i $3.$ mjestu, $2.$ i $4.$ mjestu ili na $3.$ i $4.$ mjestu onda brojeva s traženim svojstvom ima $3\cdot(2\cdot4\cdot4\cdot3\cdot3)=864$ .

Ako se „simetrične znamenke“ nalaze na $1.$ i $2.$ mjestu, $1.$ i $3.$ mjestu ili na $1.$ i $4.$ mjestu onda brojeva s traženim svojstvom ima $3\cdot(4\cdot4\cdot3\cdot3\cdot3)=1296$ .

4.slučaj: „Simetrične znamenke“ se pojavljuju triput u traženom broju.

Ako se „simetrične znamenke“ nalaze na $2.$ , $3.$ i $4.$ mjestu onda brojeva s traženim svojstvom ima $2\cdot4\cdot4\cdot4\cdot3=384$ .

Ako se „simetrične znamenke“ nalaze na $1.$ , $2.$ i $3.$ mjestu, $1.$ , $2.$ i $4.$ mjestu ili na $1.$ , $3.$ i $4.$ mjestu onda brojeva s traženim svojstvom ima $3\cdot(4\cdot4\cdot4\cdot3\cdot3)=1728$ .

5.slučaj: „Simetrične znamenke“ se pojavljuju četiri puta u traženom broju pa brojeva s traženim svojstvom ima $4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot3=768$ .

Traženih brojeva ima: $162+648+324+864+1296+384+1728+768=6174$ .