2. Zadatak

Prvi način:

Skica (s nacrtanom točkom $F$, polovištem stranice $\overline{AB}$):

Za pravokutni trokut $\triangle EFS$ vrijedi Pitagorin poučak:

$$|ES|^2=|EF|^2+|FS|^2. \tag{*}$$

Vrijedi

$$|FS|=\frac{1}{2}|BC|=6\ \mathrm{cm}.$$

Ako označimo $|AE|=|ES|=x$, tada vrijedi:

$$|EF|=|AF|-|AE|=\frac{1}{2}|AB|-|AE|=8-x.$$

Dobiveno uvrstimo u $(*)$ i računamo:

$$x^2=(8-x)^2+6^2$$ $$x^2=64-16x+x^2+36$$ $$16x=100$$ $$x=\frac{25}{4}=6.25\ \mathrm{cm}.$$

Tada je i $|AE|=6.25\ \mathrm{cm}$.

U trokutu $\triangle AES$ poznate su duljina stranice $\overline{AE}$ i duljina visine $\overline{FS}$ na tu stranicu.

Površina je

$$P=\frac{|AE|\cdot|FS|}{2}=\frac{6.25\cdot6}{2}\ \mathrm{cm}^2.$$

Površina trokuta $\triangle AES$ jednaka je $P=18.75\ \mathrm{cm}^2$.

Drugi način:

Skica (potpuna):

Primjenom Pitagorinog poučka, na pravokutan trokut $\triangle ABC$ možemo izračunati duljine dijagonala.

$$|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2$$ $$|AC|^2=16^2+12^2=256+144=400$$ $$|AC|=20\ \mathrm{cm}.$$

Točka $S$ je sjecište dijagonala, pa je onda

$$|AS|=\frac{1}{2}|AC|=10\ \mathrm{cm}.$$

Točka $E$ jednako je udaljena od točaka $A$ i $S$, što znači da točka $E$ pripada simetrali $s_{AS}$ dužine $\overline{AS}$.

Simetrala $s_{AS}$ i dužina $\overline{AS}$ sijeku se u točki $P$. Točka $P$ je polovište dužine $\overline{AS}$.

Tada je

$$|AP|=\frac{1}{2}|AS|=5\ \mathrm{cm}.$$

Prema K-K poučku vrijedi $\triangle AEP\sim\triangle ABC$ (jedan pravi kut i jedan zajednički kut u vrhu $A$).

Iz sličnosti slijedi:

$$|AP|:|AB|=|AE|:|AC|$$ $$5:16=|AE|:20$$ $$|AE|=\frac{5\cdot20}{16}=\frac{25}{4}$$ $$|AE|=6.25\ \mathrm{cm}.$$

Vrijedi

$$|FS|=\frac{1}{2}|BC|=6\ \mathrm{cm}.$$

U trokutu $\triangle AES$ znamo duljinu stranice $\overline{AE}$ i duljinu visine $\overline{FS}$ na tu stranicu.

Površina je

$$P=\frac{|AE|\cdot|FS|}{2}=\frac{6.25\cdot6}{2}\ \mathrm{cm}^2.$$

Površina trokuta $\triangle AES$ jednaka je $P=18.75\ \mathrm{cm}^2$.

Treći način:

Skica (potpuna):

Primjenom Pitagorinog poučka, na pravokutan trokut $\triangle ABC$ možemo izračunati duljine dijagonala.

$$|AC|^2=|AB|^2+|BC|^2$$ $$|AC|^2=16^2+12^2=256+144=400$$ $$|AC|=20\ \mathrm{cm}.$$

Točka $S$ je sjecište dijagonala, pa je onda

$$|AS|=\frac{1}{2}|AC|=10\ \mathrm{cm}.$$

Točka $E$ jednako je udaljena od točaka $A$ i $S$, što znači da točka $E$ pripada simetrali $s_{AS}$ dužine $\overline{AS}$.

Simetrala $s_{AS}$ i dužina $\overline{AS}$ sijeku se u točki $P$. Točka $P$ je polovište dužine $\overline{AS}$.

Tada je

$$|AP|=\frac{1}{2}|AS|=5\ \mathrm{cm}.$$

Prema K-K poučku vrijedi $\triangle AEP\sim\triangle ABC$ (jedan pravi kut i jedan zajednički kut u vrhu $A$).

Iz sličnosti slijedi:

$$|AP|:|AB|=|AE|:|AC|$$ $$5:16=|AE|:20$$ $$|AE|=\frac{5\cdot20}{16}=\frac{25}{4}$$ $$|AE|=6.25\ \mathrm{cm}.$$

Primjenom Pitagorinog poučka na pravokutan trokut $\triangle EPA$ računamo:

$$|EP|^2=|AE|^2-|AP|^2=\left(\frac{25}{4}\right)^2-5^2=\frac{625}{16}-25=\frac{225}{16}$$ $$|EP|=\frac{15}{4}=3.75\ \mathrm{cm}.$$

Površina trokuta $\triangle AES$ dvostruko je veća od površine trokuta $\triangle AEP$.

$$P_{\triangle AEP}=\frac{|AP|\cdot|EP|}{2}=\frac{5\cdot3.75}{2}=9.375\ \mathrm{cm}^2,$$

pa je površina trokuta $\triangle AES$ jednaka

$$P_{\triangle AES}=2\cdot P_{\triangle AEP}=18.75\ \mathrm{cm}^2.$$