3. Zadatak

a) Prvi način:

Ukupan broj svih mogućih izvučenih parova brojeva jednak je

$$\frac{30\cdot29}{2}=435.$$

Povoljni su oni parovi brojeva koji daju isti ostatak pri dijeljenju brojem $5$.

Među brojevima napisanima na kuglicama označimo:

$$A_0=\{\text{brojevi koji su djeljivi brojem }5\}=\{5,10,15,20,25,30\}$$ $$A_1=\{\text{brojevi koji pri dijeljenju brojem }5\text{ daju ostatak }1\} =\{1,6,11,16,21,26\}$$ $$A_2=\{\text{brojevi koji pri dijeljenju brojem }5\text{ daju ostatak }2\} =\{2,7,12,17,22,27\}$$ $$A_3=\{\text{brojevi koji pri dijeljenju brojem }5\text{ daju ostatak }3\} =\{3,8,13,18,23,28\}$$ $$A_4=\{\text{brojevi koji pri dijeljenju brojem }5\text{ daju ostatak }4\} =\{4,9,14,19,24,29\}.$$

U svakom od tih skupova ima $6$ brojeva.

Povoljni parovi brojeva su oni koji su izvučeni iz istog skupa.

Broj povoljnih parova brojeva

$$\text{iz skupa }A_0\text{ jednak je }\frac{6\cdot5}{2}=15,$$ $$\text{iz skupa }A_1\text{ jednak je }\frac{6\cdot5}{2}=15,$$ $$\text{iz skupa }A_2\text{ jednak je }\frac{6\cdot5}{2}=15,$$ $$\text{iz skupa }A_3\text{ jednak je }\frac{6\cdot5}{2}=15,$$ $$\text{iz skupa }A_4\text{ jednak je }\frac{6\cdot5}{2}=15.$$

Dakle, ukupan broj povoljnih ishoda jednak je $5\cdot15=75$.

Tražena vjerojatnost jednaka je

$$p=\frac{75}{435}=\frac{5}{29}.$$

Drugi način:

Ukupan broj svih mogućih izvučenih parova brojeva jednak je

$$\frac{30\cdot29}{2}=435.$$

Prebrojimo sve povoljne ishode:

Broj $1$ je u paru s brojevima $6$, $11$, $16$, $21$, $26$.

Broj $2$ je u paru s brojevima $7$, $12$, $17$, $22$, $27$.

Broj $3$ je u paru s brojevima $8$, $13$, $18$, $23$, $28$,

Broj $4$ je u paru s brojevima $9$, $14$, $19$, $24$, $29$.

Broj $5$ je u paru s brojevima $10$, $15$, $20$, $25$, $30$.

$$5\cdot5=25\text{ parova}$$

Broj $6$ je u paru s brojevima $11$, $16$, $21$, $26$.

Broj $7$ je u paru s brojevima $12$, $17$, $22$, $27$.

Broj $8$ je u paru s brojevima $13$, $18$, $23$, $28$.

Broj $9$ je u paru s brojevima $14$, $19$, $24$, $29$.

Broj $10$ je u paru s brojevima $15$, $20$, $25$, $30$.

$$5\cdot4=20\text{ parova}$$

Broj $11$ je u paru s brojevima $16$, $21$, $26$.

Broj $12$ je u paru s brojevima $17$, $22$, $27$.

Broj $13$ je u paru s brojevima $18$, $23$, $28$.

Broj $14$ je u paru s brojevima $19$, $24$, $29$.

Broj $15$ je u paru s brojevima $20$, $25$, $30$.

$$5\cdot3=15\text{ parova}$$

Broj $16$ je u paru s brojevima $21$, $26$.

Broj $17$ je u paru s brojevima $22$, $27$.

Broj $18$ je u paru s brojevima $23$, $28$.

Broj $19$ je u paru s brojevima $24$, $29$.

Broj $20$ je u paru s brojevima $25$, $30$.

$$5\cdot2=10\text{ parova}$$

Broj $21$ je u paru s brojem $26$.

Broj $22$ je u paru s brojem $27$.

Broj $23$ je u paru s brojem $28$.

Broj $24$ je u paru s brojem $29$.

Broj $25$ je u paru s brojem $30$.

$$5\cdot1=5\text{ parova}$$

Ukupan broj povoljnih ishoda jednak je:

$$25+20+15+10+5=75.$$

Tražena vjerojatnost jednaka je

$$p=\frac{75}{435}=\frac{5}{29}.$$

Treći način:

Izvlačeći dvije kuglice s brojevima od $1$ do $30$ moguće je dobiti sljedeće razlike djeljive brojem $5$:

$$5,\ 10,\ 15,\ 20\text{ i }25.$$

Razliku $5$ je moguće dobiti kao $6-1$, $7-2$, $8-3$, $\ldots$, $30-25$; na $25$ načina,

razliku $10$ je moguće dobiti kao $11-1$, $12-2$, $\ldots$, $30-20$; na $20$ načina,

razliku $15$ je moguće dobiti kao $16-1$, $\ldots$, $30-15$; na $15$ načina,

razliku $20$ je moguće dobiti kao $21-1$, $\ldots$, $30-10$; na $10$ načina,

razliku $25$ je moguće dobiti kao $26-1$, $\ldots$, $30-5$; na $5$ načina.

Ukupan broj izvlačenja dvaju brojeva čija je razlika djeljiva brojem $5$ jednak je

$$25+20+15+10+5=75.$$

Ukupan broj svih mogućih parova brojeva jednak je

$$\frac{30\cdot29}{2}=435.$$

Tražena vjerojatnost jednaka je

$$p=\frac{75}{435}=\frac{5}{29}.$$

Napomena 2: Učenici su mogli umjesto parova brojeva prebrojavati uređene parove, u kojima je bitan poredak izvučenih brojeva. Oni će dobiti dvostruko veći broj povoljnih ($150$), ali i ukupnih ($870$) događaja, pa će tražena vjerojatnost ostati ista.

Napomena 3: Zadatak se može riješiti i na sljedeći način: ponovo promatrajmo uređene parove, tj. vodimo računa o redoslijedu izvlačenja. S obzirom kako, nakon izbora prvog broja znamo koliki on ostatak daje pri dijeljenju s $5$, povoljnih mogućnosti za izbor drugog broja imamo $5$ (to su preostalih $5$ brojeva koji daju isti ostatak pri dijeljenju s $5$), a broj brojeva koji biramo je $29$. Kako skupovi $A_0,\ldots,A_4$ imaju isti broj elemenata, posve je svejedno koji će broj prvi biti izabran. Zato je tražena vjerojatnost

$$\frac{5}{29}.$$

Ovakav način rješavanja treba priznati kao točan.

b) Prvi način:

Ukupan broj svih mogućih izvučenih parova brojeva jednak je

$$\frac{30\cdot29}{2}=435.$$

Zbroj dvaju brojeva djeljiv je brojem $5$ ako vrijedi:

1. oba broja su djeljiva brojem $5$. To su brojevi skupa $\{5,10,15,20,25,30\}$. Dva broja iz tog skupa možemo odabrati na

$$\frac{6\cdot5}{2}=15.$$

2. jedan broj je oblika $5k+1$ (ili pri dijeljenju brojem $5$ daje ostatak $1$), a drugi broj je oblika $5k+4$ (ili pri dijeljenju brojem $5$ daje ostatak $4$). To su brojevi $1,6,11,16,21,26$, odnosno $4,9,14,19,24,29$. Ukupno imamo $6\cdot6=36$ takvih parova.

3. jedan broj je oblika $5k+2$ (ili pri dijeljenju brojem $5$ daje ostatak $2$), a drugi broj je oblika $5k+3$ (ili pri dijeljenju brojem $5$ daje ostatak $3$). To su brojevi $2,7,12,17,22,27$, odnosno $3,8,13,18,23,28$. Ukupno imamo $6\cdot6=36$ takvih parova.

Ukupan broj povoljnih ishoda jednak je:

$$15+36+36=87.$$

Tražena vjerojatnost jednaka je

$$p=\frac{87}{435}=\frac{1}{5}.$$

Napomena 2: Učenici su i ovdje mogli umjesto parova brojeva prebrojavati uređene parove, u kojima je bitan poredak izvučenih brojeva. Oni će dobiti dvostruko veći broj povoljnih ($174$), ali i ukupnih ($870$) događaja, pa će tražena vjerojatnost ostati ista.

Drugi način:

Ukupan broj svih mogućih izvučenih parova brojeva jednak je

$$\frac{30\cdot29}{2}=435.$$

Prebrojimo sve povoljne ishode:

Broj $1$ je u paru s brojevima $4$, $9$, $14$, $19$, $24$, $29$.

Broj $2$ je u paru s brojevima $3$, $8$, $13$, $18$, $23$, $28$.

$$2\cdot6=12\text{ parova}$$

Broj $3$ je u paru s brojevima $7$, $12$, $17$, $22$, $27$.

Broj $4$ je u paru s brojevima $6$, $11$, $16$, $21$, $26$.

Broj $5$ je u paru s brojevima $10$, $15$, $20$, $25$, $30$.

Broj $6$ je u paru s brojevima $9$, $14$, $19$, $24$, $29$.

Broj $7$ je u paru s brojevima $8$, $13$, $18$, $23$, $28$.

$$5\cdot5=25\text{ parova}$$

Broj $8$ je u paru s brojevima $12$, $17$, $22$, $27$.

Broj $9$ je u paru s brojevima $11$, $16$, $21$, $26$.

Broj $10$ je u paru s brojevima $15$, $20$, $25$, $30$.

Broj $11$ je u paru s brojevima $14$, $19$, $24$, $29$.

Broj $12$ je u paru s brojevima $13$, $18$, $23$, $28$.

$$5\cdot4=20\text{ parova}$$

Broj $13$ je u paru s brojevima $17$, $22$, $27$.

Broj $14$ je u paru s brojevima $16$, $21$, $26$.

Broj $15$ je u paru s brojevima $20$, $25$, $30$.

Broj $16$ je u paru s brojevima $19$, $24$, $29$.

Broj $17$ je u paru s brojevima $18$, $23$, $28$.

$$5\cdot3=15\text{ parova}$$

Broj $18$ je u paru s brojevima $22$, $27$.

Broj $19$ je u paru s brojevima $21$, $26$.

Broj $20$ je u paru s brojevima $25$, $30$.

Broj $21$ je u paru s brojevima $24$, $29$.

Broj $22$ je u paru s brojevima $23$, $28$.

$$5\cdot2=10\text{ parova}$$

Broj $23$ je u paru s brojem $27$.

Broj $24$ je u paru s brojem $26$.

Broj $25$ je u paru s brojem $30$.

Broj $26$ je u paru s brojem $29$.

Broj $27$ je u paru s brojem $28$.

$$5\cdot1=5\text{ parova}$$

Ukupan broj povoljnih ishoda jednak je:

$$12+25+20+15+10+5=87.$$

Tražena vjerojatnost jednaka je

$$p=\frac{87}{435}=\frac{1}{5}.$$

Treći način:

Izvlačeći dvije kuglice s brojevima od $1$ do $30$ moguće je dobiti sljedeće zbrojeve djeljive brojem $5$:

$$5,\ 10,\ 15,\ 20,\ 25,\ 30,\ 35,\ 40,\ 45,\ 50\text{ i }55.$$

Zbroj $5$ je moguće dobiti kao $1+4$, $2+3$; na $2$ načina.

Zbroj $10$ je moguće dobiti kao $1+9$, $2+8$, $3+7$, $4+5$; na $4$ načina.

Zbroj $15$ je moguće dobiti kao $1+14$, $2+13$, $\ldots$, $7+8$; na $7$ načina.

Zbroj $20$ je moguće dobiti kao $1+19$, $2+18$, $\ldots$, $9+11$; na $9$ načina.

Zbroj $25$ je moguće dobiti kao $1+24$, $2+23$, $\ldots$, $12+13$; na $12$ načina.

Zbroj $30$ je moguće dobiti kao $1+29$, $2+28$, $\ldots$, $14+16$; na $14$ načina.

Zbroj $35$ je moguće dobiti kao $5+30$, $6+29$, $\ldots$, $17+18$; na $13$ načina.

Zbroj $40$ je moguće dobiti kao $10+30$, $11+29$, $\ldots$, $19+21$; na $10$ načina.

Zbroj $45$ je moguće dobiti kao $15+30$, $16+29$, $\ldots$, $22+23$; na $8$ načina.

Zbroj $50$ je moguće dobiti kao $20+30$, $21+29$, $\ldots$, $24+26$; na $5$ načina.

Zbroj $55$ je moguće dobiti kao $25+30$, $26+29$, $27+28$; na $3$ načina.

Ukupan broj izvlačenja dvaju brojeva čiji je zbroj djeljiv brojem $5$ jednak je

$$2+4+7+9+12+14+13+10+8+5+3=87.$$

Ukupan broj svih mogućih izvučenih parova brojeva jednak je

$$\frac{30\cdot29}{2}=435.$$

Tražena vjerojatnost jednaka je

$$p=\frac{87}{435}=\frac{1}{5}.$$

Napomena 3: Zadatak se može riješiti i na sljedeći način: ponovo promatrajmo uređene parove, pri čemu je važan redoslijed izvlačenja brojeva. Za prvi broj su dvije mogućnosti: ili je djeljiv brojem $5$ (s vjerojatnošću $\frac{1}{5}$) ili nije (s vjerojatnošću $\frac{4}{5}$), ako je prvi djeljiv brojem $5$, onda i drugi mora biti djeljiv brojem $5$ s vjerojatnošću $\frac{5}{29}$. U slučaju da prvi izvučeni broj daje ostatak $k$ pri dijeljenju brojem $5$, onda će drugi dati ostatak $5-k$ pri dijeljenju brojem $5$ s vjerojatnošću $\frac{6}{29}$. Tražena vjerojatnost je

$$p=\frac{1}{5}\cdot\frac{5}{29}+\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{29}=\frac{1}{5}.$$

Ovakav način rješavanja treba priznati kao točan.