4. Zadatak

Prvi način:

Rastav broja $120$ na proste faktore je

$$120=2^3\cdot3\cdot5.$$

Dakle, da bi broj bio djeljiv brojem $120$, mora biti djeljiv brojem $3$, brojem $5$ i brojem $8$.

Među tri uzastopna prirodna broja točno je jedan djeljiv brojem $3$ pa je umnožak tri uzastopna prirodna broja uvijek djeljiv brojem $3$.

Neka je prvi od tri uzastopna broja $m$ paran.

Tada je i treći broj $(m+2)$ paran. Jedan od dva uzastopna parna broja djeljiv je brojem $2$, a drugi brojem $4$, pa je njihov umnožak djeljiv brojem $8$.

Djeljivost brojem $5$ bit će ispunjena ako je bilo koji od triju brojeva djeljiv brojem $5$. To je moguće ako i samo ako prvi ili treći (parni) broj završava znamenkom $0$, odnosno ako drugi (neparni) završava znamenkom $5$.

U traženim trojkama prvi broj može biti oblika $\overline{ab0}$, treći broj može biti oblika $\overline{cd0}$ ili drugi broj u trojci može biti oblika $\overline{ef5}$.

Dakle, u traženim trojkama prvi broj može biti oblika $\overline{ab0}$, gdje su brojevi $a$ i $b$ bilo koje znamenke iz skupa $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0\}$ pri čemu je znamenka $a\ne0$, i takvih je brojeva $90$.

Analogno, treći broj može biti oblika $\overline{cd0}$. I tu ima $90$ mogućnosti, ali se u prvoj $(98,99,100)$ pojavljuju dvoznamenkasti brojevi. Traženih trojki ovog oblika ima $89$.

Dakle, trojki gdje prvi ili treći broj završava znamenkom $0$ ima $90+89=179$.

Drugi broj u trojci može biti oblika $\overline{ef5}$. I takvih trojki ima $90$.

Neka je sada prvi broj $m$ u trojci neparan.

Kako je i treći broj $(m+2)$ neparan, nužno je da drugi broj $(m+1)$ bude djeljiv brojem $8$.

Budući da kombiniramo djeljivost brojem $8$ i djeljivost brojem $5$, dovoljno je promatrati prvih $40$ mogućnosti.

Srednji broj $(m+1)$ može biti $104$, $112$, $120$, $128$ ili $136$, no ili on ili njegov neposredni prethodnik ili sljedbenik moraju biti djeljivi brojem $5$.

To se događa u tri slučaja: $(103,104,105)$, $(119,120,121)$ i $(135,136,137)$.

Troznamenkastih brojeva ima $900$, a iz

$$900=40\cdot22+20$$

slijedi da traženih brojeva ima $22\cdot3=66$, te još u zadnjih $20$ brojeva broj $984$. Traženih trojki ovog oblika ima $67$.

Ukupan broj trojki je

$$90+89+90+67=336.$$

Drugi način:

Učenik koji zaključi da umnožak mora biti djeljiv brojem $3$, brojem $8$ i brojem $5$, da je umnožak tri uzastopna prirodna broja uvijek djeljiv brojem $3$, da je umnožak tri uzastopna broja djeljiv brojem $8$ ako i samo ako je prvi broj u umnošku paran ili ako je prvi broj u umnošku neparan, a drugi djeljiv brojem $8$, te da je umnožak tri uzastopna broja djeljiv brojem $5$ ako i samo ako $m$ daje ostatke $0$, $3$ ili $4$ pri dijeljenju brojem $5$

dalje može zaključivati i na sljedeći način:

Iz gore navedenog zaključujemo da je umnožak tri broja djeljiv brojem $120$ ako i samo ako daje ostatke $0$, $4$, $8$, $10$, $14$, $15$, $18$, $20$, $23$, $24$, $28$, $30$, $34$, $38$ ili $39$ pri dijeljenju brojem $40$.

To znači da za $40$ uzastopnih vrijednosti broja $m$ njih točno $15$ zadovoljava uvjete zadatka.

Uzevši u obzir uvjet da sva tri broja u umnošku moraju biti troznamenkasta, $m$ može biti prirodan broj između $100$ i $997$ (uključivo rubne vrijednosti).

Uočimo da $100$ daje ostatak $20$ pri dijeljenju brojem $40$ i da $997$ daje ostatak $37$ pri dijeljenju brojem $40$. Dakle, za vrijednosti broja $m$ od $100$ do $979$ (uključivo rubne vrijednosti) imamo ukupno $22$ skupa $40$ uzastopnih prirodnih brojeva te ukupno

$$22\cdot15=330$$

brojeva koji zadovoljavaju uvjete zadatka, dok za vrijednosti $m$ između $980$ i $997$ (uključivo rubne vrijednosti), ostatci broja $m$ pri dijeljenju brojem $40$ su između $20$ i $37$ (uključivo rubne vrijednosti) i imamo $6$ brojeva koji zadovoljavaju uvjete zadatka.

To znači da traženih trojki ima

$$330+6=336.$$