5. Zadatak

Skica:

Površine trokuta $\triangle ABD$ i $\triangle ABC$ su jednake (trokuti imaju zajedničku stranicu $\overline{AB}$, i visinu $v$, koja je i visina trapeza). Dakle, vrijedi:

$$P_{\triangle ABD}=P_{\triangle ABC}.$$

Promotrimo trokute $\triangle ASD$ i $\triangle BCS$. Za njihove površine vrijedi:

$$P_{\triangle ASD}=P_{\triangle ABD}-P_{\triangle ABS} =P_{\triangle ABC}-P_{\triangle ABS} =P_{\triangle BCS},$$

tj. trokuti $\triangle ASD$ i $\triangle BCS$ imaju jednake površine:

$$P_{\triangle ASD}=P_{\triangle BCS}=P_3.$$

Trokuti $\triangle ASD$ i $\triangle ABS$ imaju zajedničku visinu iz vrha $A$ duljine $v_1$, pa možemo površine trokuta zapisati kao:

$$P_{\triangle ASD}=P_3=\frac{|SD|\cdot v_1}{2} \qquad\text{i}\qquad P_{\triangle ABS}=P_1=\frac{|SB|\cdot v_1}{2}.$$

Slijedi da je

$$P_3:P_1=|SD|:|SB|.$$

Trokuti $\triangle CDS$ i $\triangle BCS$ imaju zajedničku visinu iz vrha $C$ duljine $v_2$, pa površine trokuta možemo zapisati kao:

$$P_{\triangle CDS}=P_2=\frac{|SD|\cdot v_2}{2} \qquad\text{i}\qquad P_{\triangle BCS}=P_3=\frac{|SB|\cdot v_2}{2}.$$

Slijedi da je

$$P_2:P_3=|SD|:|SB|.$$

Dakle,

$$P_3:P_1=P_2:P_3 \Rightarrow P_3^2=P_1\cdot P_2 \Rightarrow P_3=\sqrt{P_1\cdot P_2}.$$

Površina trapeza $ABCD$ jednaka je:

$$P=P_{\triangle ABS}+P_{\triangle CDS}+P_{\triangle ASD}+P_{\triangle BCS} =P_1+P_2+2\cdot P_3 =P_1+P_2+2\sqrt{P_1\cdot P_2}.$$ $$P=(\sqrt{P_1})^2+2\sqrt{P_1\cdot P_2}+(\sqrt{P_2})^2 =(\sqrt{P_1}+\sqrt{P_2})^2.$$