2. Zadatak

Prvi način: Članovi niza su:

$$\begin{aligned} a_1&=2,\\ a_2&=2,\\ a_3&=a_1-a_2=2-2=0,\\ a_4&=a_2+a_3=2+0=2,\\ a_5&=a_3-a_4=0-2=-2,\\ a_6&=a_4+a_5=2+(-2)=0,\\ a_7&=a_5-a_6=-2-0=-2,\\ a_8&=a_6+a_7=0+(-2)=-2,\\ a_9&=a_7-a_8=-2-(-2)=0,\\ a_{10}&=a_8+a_9=-2+0=-2,\\ a_{11}&=a_9-a_{10}=0-(-2)=2,\\ a_{12}&=a_{10}+a_{11}=-2+2=0,\\ a_{13}&=a_{11}-a_{12}=2-0=2,\\ a_{14}&=a_{12}+a_{13}=0+2=2,\ldots \end{aligned}$$

Članovi niza ciklički se ponavljaju: $2,2,0,2,-2,0,-2,-2,0,-2,2,0$, pa opet $2,2,0,2,-2,0,-2,-2,0,-2,2,0$, itd.

U podnizu koji se ponavlja ima 12 članova i njihov je zbroj 0.

Iz $100=12\cdot8+4$ se vidi da u prvih 100 članova zadanog niza ima 8 takvih podnizova te se još ponavljaju prva četiri člana niza.

Zbroj prvih 100 članova zadanog niza je $8\cdot0+2+2+0+2=6$.

Drugi način: Rješenje se može dobiti tako da se svaki član niza izrazi pomoću prva dva člana $a_1$ i $a_2$.

Iz $a_1$ i $a_2$ dobiva se redom:

$$\begin{aligned} a_3&=a_1-a_2\\ a_4&=a_2+a_3=a_2+a_1-a_2=a_1\\ a_5&=a_3-a_4=a_1-a_2-a_1=-a_2\\ a_6&=a_4+a_5=a_1+(-a_2)=a_1-a_2\\ a_7&=a_5-a_6=-a_2-a_1+a_2=-a_1\\ a_8&=a_6+a_7=a_1-a_2-a_1=-a_2\\ a_9&=a_7-a_8=-a_1+a_2\\ a_{10}&=a_8+a_9=-a_2-a_1+a_2=-a_1\\ a_{11}&=a_9-a_{10}=-a_1+a_2+a_1=a_2\\ a_{12}&=a_{10}+a_{11}=-a_1+a_2\\ a_{13}&=a_{11}-a_{12}=a_2+a_1-a_2=a_1\\ a_{14}&=a_{12}+a_{13}=-a_1+a_2+a_1=a_2\ldots \end{aligned}$$

Zbog $a_{13}=a_1$ i $a_{14}=a_2$, ponavljaju se svi ostali članovi niza.

Zbog $100=12\cdot8+4$ vrijedi:

$$a_1+a_2+\ldots+a_{100}=8\cdot(a_1+a_2+\ldots+a_{12})+a_1+a_2+a_3+a_4.$$

Vrijedi $a_1+a_2+\ldots+a_{12}=4a_1-4a_1+4a_2-4a_2=0$ i $a_1+a_2+a_3+a_4=3a_1$, pa je $a_1+a_2+\ldots+a_{100}=8\cdot0+3\cdot2=6$.