1. Zadatak

Prvi način: Polazna jednadžba ekvivalentna je redom s:

$$4mn-10m+6n=260$$ $$4mn-10m+6n-15=245$$ $$2m(2n-5)+3(2n-5)=245$$ $$(2m+3)(2n-5)=245$$

Rastav broja 245 na proste faktore je $245=5\cdot7^2$.

Djelitelji broja 245 su: $1,5,7,35,49$ i $245$.

S obzirom da je $2m+3\ge5$, prvi je slučaj nemoguć.

Preostaju sljedeće mogućnosti:

$$\begin{aligned} (i)\quad &2m+3=5,\quad 2n-5=49,\quad \text{odnosno }m=1\text{ i }n=27;\\ (ii)\quad &2m+3=7,\quad 2n-5=35,\quad \text{odnosno }m=2\text{ i }n=20;\\ (iii)\quad &2m+3=35,\quad 2n-5=7,\quad \text{odnosno }m=16\text{ i }n=6;\\ (iv)\quad &2m+3=49,\quad 2n-5=5,\quad \text{odnosno }m=23\text{ i }n=5;\\ (v)\quad &2m+3=245,\quad 2n-5=1,\quad \text{odnosno }m=121\text{ i }n=3. \end{aligned}$$

Rješenja su uređeni parovi $(1,27)$, $(2,20)$, $(16,6)$, $(23,5)$ i $(121,3)$.

Drugi način: Polazna jednadžba transformira se na sljedeći način:

$$2mn-5m+3n=130$$ $$2mn+3n=5m+130$$ $$n(2m+3)=5m+130$$ $$n=\frac{5m+130}{2m+3}$$

Ako je $n$ prirodni broj, onda je i njegov dvokratnik $2n$ također prirodni broj.

Dalje vrijedi:

$$2n=\frac{10m+260}{2m+3}=\frac{10m+15+245}{2m+3}=\frac{5(2m+3)+245}{2m+3}=5+\frac{245}{2m+3}$$

Izraz $2m+3$ mora biti djelitelj broja 245.

Iz rastava $245=5\cdot7\cdot7$, zaključit ćemo da su djelitelji broja 245 brojevi $1,5,7,35,49$ i $245$.

Mogućnosti su:

$$2m+3=1,\ \text{pa je }m=-1\text{ što nije prirodan broj,}$$ $$2m+3=5,\ \text{pa je }m=1\text{ i }n=27,$$ $$2m+3=7,\ \text{pa je }m=2\text{ i }n=20,$$ $$2m+3=35,\ \text{pa je }m=16\text{ i }n=6,$$ $$2m+3=49,\ \text{pa je }m=23\text{ i }n=5,$$ $$2m+3=245,\ \text{pa je }m=121\text{ i }n=3.$$

Rješenja su uređeni parovi $(1,27)$, $(2,20)$, $(16,6)$, $(23,5)$ i $(121,3)$.