5. Zadatak

Kutovi $\angle EAH$ i $\angle DCH$, odnosno $\angle AEH$ i $\angle CDH$, su parovi šiljastih kutova uz presječnice usporednih pravaca pa su ti parovi kutova jednakih veličina.

Onda su, prema KK poučku, trokuti $AEH$ i $CDH$ slični.

Tada je

$$\frac{|AH|}{|CH|}=\frac{|AE|}{|CD|}=\frac{1}{2}.$$

Zato je $|AH|=\frac{|HC|}{2}=\frac{|AC|}{3}$, odnosno

$$p_{AHD}=\frac{1}{3}p_{ACD}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\cdot2}{2}=1.$$

Neka je $L$ presjek pravaca $DE$ i $CB$.

Vrijedi $|\angle AED|=|\angle BEL|$ (vršni kutovi) i $|\angle EAD|=|\angle EBL|=90^\circ$.

Također je $|AE|=|BE|$ (točka $E$ je polovište stranice $\overline{AB}$).

Stoga su trokuti $ADE$ i $BLE$ sukladni po KSK poučku.

Onda je $|BL|=|AD|=2$ pa je $|CL|=|CB|+|BL|=4$.

Kutovi $\angle FDG$ i $\angle CLG$, odnosno $\angle GFD$ i $\angle GCL$ su parovi šiljastih kutova uz presječnice usporednih pravaca pa su ti parovi kutova jednakih veličina.

Onda su, prema KK poučku, trokuti $DFG$ i $LCG$ slični.

Tada je

$$\frac{|FG|}{|CG|}=\frac{|DF|}{|LC|}=\frac{1}{4}.$$

Zato je $|FG|=\frac{|CG|}{4}=\frac{|CF|}{5}$, odnosno

$$p_{DFG}=\frac{1}{5}p_{DFC}=\frac{1}{5}\cdot\frac{3\cdot1}{2}=\frac{3}{10}.$$

Konačno,

$$p_{AHGF}=p_{AHD}-p_{DFG}=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}.$$