4. Zadatak

Dan je jednakostraničan trokut $ABC$ , pri čemu je $|AB|=9$ cm. Neka je točka $M$ na stranici $\overline{AC}$ , točka $P$ nožište okomice iz $M$ na $\overline{AB}$ , točka $Q$ nožište okomice iz $P$ na $\overline{BC}$ i okomica iz $Q$ na $\overline{AC}$ siječe $\overline{AC}$ u točki $M$ . Izračunaj duljinu $|AM|$ .

Rješenje

Jednakostranični trokut s okomicama.

Kako je $\triangle ABC$ jednakostraničan, onda je $|\angle CAB|=|\angle ABC|=|\angle BCA|=60^\circ$ . Obzirom da je $|\angle APM|=90^\circ$ , onda je $|\angle PMA|=180^\circ-|\angle APM|-|\angle MAP|=180^\circ-|\angle APM|-|\angle CAB|=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ$ . Analogno, $|\angle QPB|=30^\circ$ i $|\angle MQC|=30^\circ$ . To znači da su $\triangle APM$ , $\triangle BQP$ i $\triangle CMQ$ polovice jednakostraničnog trokuta. Vrijedi $|\angle APM|+|\angle MPQ|+|\angle QPB|=180^\circ$ odnosno $|\angle MPQ|=60^\circ$ . Analogno, $|\angle PQM|=60^\circ$ i $|\angle QMP|=60^\circ$ što znači da je $\triangle PQM$ jednakostraničan. Iz $|MP|=|PQ|=|QM|$ , $|\angle APM|=|\angle BQP|=|\angle QMC|=90^\circ$ i $|\angle PMA|=|\angle QPB|=|\angle MQC|=30^\circ$ prema teoremu K-S-K o sukladnosti slijedi $\triangle APM\cong\triangle BQP\cong\triangle CMQ$ . Dakle, $|AP|=|CM|$ i $|AP|=\frac{|AM|}{2}$ . Slijedi

\begin{aligned}|AM|+|MC|&=9\\2|AP|+|AP|&=9\\3|AP|&=9\\|AP|&=3\end{aligned}

odnosno $|AM|=6$ cm.