3. Zadatak

Prvi način:

Kako su površine triju poligona (dvaju četverokuta i peterokuta) koji tvore kvadrat jednake, onda je svaka od površina jednaka $\frac13\ \mathrm{m}^2$.

To posebice znači da je površina trapeza FCES jednaka $\frac13\ \mathrm{m}^2$.

Iz uvjeta zadatka znamo da je $S$ središte kvadrata i $E$ polovište stranice $\overline{BC}$, pa mora biti $|SE|=|EC|=\frac12\ \mathrm{m}$.

Površina trapeza FCES može se izračunati iz izraza

$$p_{\mathrm{FCES}}=\frac{|FC|+|SE|}{2}\cdot|EC|,$$

pa slijedi

$$\frac14\left(|FC|+\frac12\right)=\frac13,$$

odnosno $|FC|=\frac56\ \mathrm{m}$.

Drugi način:

Neka je točka K na stranici $\overline{CD}$ takva da je $|DF|=|KC|$ i točka I na stranici $\overline{AB}$ takva da je $|AG|=|IB|$. Nadalje, neka su točke L i H polovišta dužina $\overline{FK}$ i $\overline{GI}$, točke M i J sjecišta pravca $\overline{ES}$ sa stranicama pravokutnika FKIG.

Prema poučku S-K-S trokuti SLF, SLK, SJK, SMG, SMF su sukladni i imaju jednake površine; označimo tu površinu s $P_1$.

Četverokut AGFD je dvaput veće površine od četverokuta JECK; označimo njegovu površinu s $P_2$.

Iz uvjeta jednakosti površina poligona SFDAG i SECF slijedi da je

$$2P_1+2P_2=3P_1+P_2,$$

pa slijedi da je $P_1=P_2$.

Iz toga slijedi da je $|FL|=|LK|=2|KC|$.

Kako je $|KC|=|FD|$ i $|FL|+|LK|+|KC|+|FD|=1$, slijedi da je $|FC|=\frac56\ \mathrm{m}$.