6. Zadatak

Prvi način:

Dijagonala $\overline{BD}$ dijeli dužinu $\overline{EF}$ na dva dijela. Označimo ih s $x$ i $16-x$.

Pravokutni trokuti DEG i BFG su slični jer se podudaraju u dva kuta (oba imaju pravi kut, a kutovi $\angle EGD$ i $\angle FGB$ su jednaki jer su vršni kutovi).

Zato vrijedi

$$12:x=20:(16-x)\quad\Longrightarrow\quad32x=192\quad\Longrightarrow\quad x=6\ \text{cm}.$$

Prema Pitagorinom poučku je

$$d_1=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}$$

i

$$d_2=\sqrt{10^2+20^2}=10\sqrt{5}$$

pa je dijagonala kvadrata

$$d=d_1+d_2=16\sqrt{5},$$

a stranica kvadrata

$$a=\frac{d\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{10}\ \text{cm}.$$

Površina kvadrata je

$$P=a^2=640\ \text{cm}^2.$$

Drugi način:

Produljimo dužinu $\overline{DE}$, a kroz točku B nacrtajmo paralelu s dužinom $\overline{EF}$ tako da se sijeku u točki G, kao na slici.

Skica:

Četverokut EGBF je pravokutnik jer su mu kutovi u vrhovima E i F pravi i jer je $\overline{EF}\parallel\overline{GB}$. (Trapez kojem su dva kuta uz istu osnovicu prava!)

Zato je $|EG|=|FB|=20\ \text{cm}$, a $|GB|=|EF|=16\ \text{cm}$.

Trokut DGB je pravokutan jer je kut u vrhu G pravi.

Kako je $|DG|=|DE|+|EG|=12+20=32\ \text{cm}$, prema Pitagorinom poučku slijedi

$$d=\sqrt{|DG|^2+|GB|^2}=\sqrt{32^2+16^2}=\sqrt{1024+256}=\sqrt{1280}=16\sqrt{5}\ \text{cm}.$$

Kako je $d=a\sqrt{2}$, slijedi

$$a=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{d\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{10}\ \text{cm}$$

odnosno

$$P=a^2=640\ \text{cm}^2.$$