7. Zadatak

Prvi način:

Neka je točka S središte upisanog kruga. Dakle, točka S je sjecište simetrala kutova.

$|\angle BAC|=60^\circ$, a pravac AS je simetrala kuta $\angle BAC$ pa je $|\angle EAS|=30^\circ$.

Točka E je diralište, $\overline{SE}\perp\overline{AB}\Rightarrow|\angle AES|=90^\circ$.

Točka F je diralište, $\overline{GF}\perp\overline{AB}\Rightarrow|\angle AFG|=90^\circ$.

Trokuti $\triangle AFG$ i $\triangle AES$ su pravokutni s kutovima $30^\circ$ i $60^\circ$ $\Rightarrow$ duljina hipotenuze dvostruko je dulja od duljine kraće katete:

$$|AG|=2|GF|,\quad |AS|=2|SE|$$

Označimo s $R$ polumjer većeg kruga, a s $r$ polumjerom manjeg kruga.

$$R=|SE|=|SD|,$$

a kako je $|AS|=2|SE|$, slijedi $|AD|=R$.

$$r=|GD|=|GF|=|GH|,$$

a kako je $|AG|=2|GF|$, slijedi $|AH|=r$.

$$R=|AD|=|AH|+|HG|+|GD|=r+r+r=3r$$

Površina većeg kruga:

$$P_V=R^2\pi=(3r)^2\pi=9r^2\pi.$$

Površina manjeg kruga:

$$P_M=r^2\pi.$$

Izračunamo traženi odnos

$$\frac{P_V}{3P_M}=\frac{9r^2\pi}{3r^2\pi}=\frac{3}{1}=3:1.$$

Odnos površine kruga $k$ i zbroja površina tri upisana kruga iznosi $3:1$.

Drugi način:

Skica:

Neka je $a$ duljina stranice jednakostraničnog trokuta ABC.

Visina $\overline{AG}$ pripada simetrali kuta $\angle BAC$, R je duljina polumjera kružnice upisane trokutu ABC i iznosi trećinu duljine visine $\overline{AG}$ pa je

$$R=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$

Dužina $\overline{AS}$ je polumjer trokutu ABC opisane kružnice i njena duljina iznosi dvije trećine duljine visine $\overline{AG}$ pa je

$$|AS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Trokuti AED i AFS su pravokutni trokuti sa sukladnim šiljastim kutovima (30° i 60°) pa su prema poučku K-K o sličnosti slični.

Zato za njihove duljine stranica vrijedi

$$\frac{|AS|}{|AD|}=\frac{R}{r},$$

tj.

$$\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{x+r}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{r}$$

odakle se sređivanjem dobije $r=x$.

Visina $\overline{AG}$ ima duljinu $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ i vrijedi

$$x+2r+2R=\frac{a\sqrt{3}}{2},$$

a nadalje

$$r=\frac{a\sqrt{3}}{18}.$$

Površina triju upisanih krugova koji dodiruju veliki krug je

$$P_3=3\cdot r^2\pi=3\cdot\left(\frac{a\sqrt{3}}{18}\right)^2\pi=\frac{a^2\pi}{36},$$

a površina velikog kruga je

$$P=R^2\pi=\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2\pi=\frac{a^2\pi}{12}.$$

Omjer površina velikog kruga i zbroja površina triju malih krugova je $3:1$.

Treći način:

Skica:

Polumjer kružnice upisane jednakostraničnom trokutu ABC označimo s $r$.

Kako se središte upisane kružnice u jednakostraničnom trokutu podudara s njegovim težištem, a visina s težišnicom i kako težište dijeli težišnicu u omjeru 2:1 od vrha prema polovištu nasuprotne stranice, slijedi da je polumjer upisane kružnice jednak

$$r=\frac{1}{3}v,$$

gdje je $v$ duljina visine jednakostraničnog trokuta ABC.

Preostale tri kružnice ($k_1$, $k_2$, $k_3$) su sukladne, pa je dovoljno promatrati samo jednu ($k_1$).

Neka je E sjecište visine $\overline{CD}$ i kružnice $k$ koje nije na stranici $\overline{AB}$. Tada je

$$|CE|=|ES|=|SD|=r.$$

Nacrtajmo paralelu s pravcem AB kroz točku E. Ona siječe stranice AC i BC u točkama M i N.

Trokut MNC je također jednakostraničan, jer su mu svi kutovi jednaki 60°.

Duljina visine trokuta MNC jednaka je

$$v_1=|CE|=r.$$

Kružnica $k_1$ je upisana kružnica jednakostraničnom trokutu MNC pa za njen polumjer $r_1$ vrijedi

$$r_1=\frac{1}{3}v_1=\frac{1}{3}r.$$

Zato je omjer površine velikog kruga i zbroja površina tri mala kruga jednak

$$\frac{r^2\pi}{3r_1^2\pi}=\frac{r^2}{3\cdot\left(\frac{1}{3}r\right)^2}=\frac{r^2}{3\cdot\frac{r^2}{9}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3:1.$$