2. Zadatak

Prvi način.

Tražimo $a,b\in\mathbb{N}$ tako da je

$$\frac{93}{91}=\frac{a}{7}+\frac{b}{13}=\frac{13a+7b}{91}.$$

Dakle, $93=13a+7b$ odnosno $13a=93-7b$, $a,b\in\mathbb{N}$.

Kako je $b\ge1$, onda je $7b\ge7$ te je $13a=93-7b\le86$ što znači da je $a\le6$.

Iz $93=13a+7b$ slijedi $7b=93-13a$, a kako je $7b$ djeljiv sa 7, onda i $93-13a$ mora biti djeljiv sa 7.

Vrijedi

$a$	1	2	3	4	5	6
$93-13a$	80	67	54	41	28	15

S obzirom da je samo broj 28 djeljiv sa 7, slijedi $a=5$ i $b=4$.

Traženi prikaz je

$$\frac{93}{91}=\frac{5}{7}+\frac{4}{13}.$$

Drugi način.

Tražimo $a,b\in\mathbb{N}$ tako da je

$$\frac{93}{91}=\frac{a}{7}+\frac{b}{13}=\frac{13a+7b}{91}.$$

Dakle, $93=13a+7b$ odnosno $7b=93-13a$, $a,b\in\mathbb{N}$.

To znači da ako od broja 93 oduzmemo višekratnik broja 13, trebamo dobiti višekratnik broja 7.

No, $93-13=80$, $93-26=67$, $93-39=54$, $93-52=41$, $93-65=28$, $93-78=15$, $93-91=2$, a za veće višekratnike broja 13 od 91, tražena razlika više neće biti prirodni broj, što znači da je samo broj 28 odgovarajući.

Slijedi $b=4$ i $a=5$ te je traženi prikaz

$$\frac{93}{91}=\frac{5}{7}+\frac{4}{13}.$$