3. Zadatak

Neka su $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ bilo kojih šest prirodnih brojeva.

Pri dijeljenju prirodnog broja s 5 može biti ostatak 0, 1, 2, 3 ili 4 pa prema Dirichletovom načelu neka dva od zadanih brojeva pri dijeljenju s 5 imaju isti ostatak.

Neka su to brojevi $a_i$ i $a_j$, pri čemu je $1\le i\le6$, $1\le j\le6$, $i\ne j$.

Tada postoje $m,n,r\in\mathbb{N}$ tako da vrijedi $a_i=5\cdot m+r$ i $a_j=5\cdot n+r$.

Dalje je

$$a_i-a_j=(5\cdot m+r)-(5\cdot n+r)=5\cdot m+r-5\cdot n-r=5\cdot(m-n)$$

te je time tvrdnja dokazana.