5. Zadatak

Pas Ari promatra buhe koje s istog mjesta skaču ravno prema njemu. Neke su buhe veće, a neke manje. Kada veća buha napravi $7$ jednakih skokova, do Arija joj nedostaje $3$ cm. Kada manja buha napravi $10$ jednakih skokova, do Arija joj nedostaje $1$ cm. Ako su na početku buhe od Arija udaljene više od $2$ m, kolika je najmanja moguća duljina skoka manjih buha? Duljina svakog skoka u centimetrima je prirodan broj.

Prvo rješenje.

Buhe se nalaze na mjestu koje je od Arija udaljeno više od $2$ m $=200$ cm.

Odredimo koji sve brojevi mogu biti udaljenosti manjih buha od Arija, odnosno udaljenosti većih buha od Arija.

Udaljenost manjih buha od Arija je broj koji dobijemo tako da višekratniku broja $10$ dodamo broj $1$ (tj. broj koji daje ostatak $1$ pri dijeljenju s $10$ ).

Budući da je $200$ višekratnik broja $10$ , sljedeći su višekratnici $210$ , $220$ , $230$ , $240$ , $250$ , …

Udaljenosti većih buha od Arija mogu biti brojevi: $201$ , $211$ , $221$ , $231$ , $241$ , $251$ , …

Udaljenost većih buha od Arija je broj koji dobijemo tako da višekratniku broja $7$ dodamo broj $3$ (tj. koji daje ostatak $3$ pri dijeljenju sa $7$ ).

$200:7=28$ i ostatak $4$ .

Prvi višekratnik broja $7$ veći od $200$ je $203$ , a sljedeći su $210$ , $217$ , $224$ , $231$ , $238$ , $245$ , …

Udaljenosti većih buha od Arija mogu biti brojevi: $206$ , $213$ , $220$ , $227$ , $234$ , $241$ , $248$ , …

Kako buhe skaču s istoga mjesta, tražimo najmanji broj koji može biti i udaljenost manjih i udaljenost većih buha od Arija.

To je broj $241$ , pa duljina skoka manjih buha iznosi

(241-1):10=24\ \text{cm}.

Drugo rješenje.

Buhe su od Arija udaljene više od $2$ m $=200$ cm.

$200:7=28$ i ostatak $4$ .

$7\cdot28+3=199$ što je manje od $200$ pa je najmanja moguća duljina skoka većih buha $29$ cm.

Neka je duljina skoka većih buha $v$ , a duljina skoka manjih $m$ izraženo u centimetrima.

Udaljenost buha od Arija $7\cdot v+3$ .

Izračunajmo moguće udaljenosti za $v>28$ .

Kako je udaljenost buha od Arija jednaka i $10\cdot m+1$ , dobivene udaljenosti umanjimo za $1$ i razliku podijelimo s $10$ .

Tražena duljina skoka manjih buha $m$ je prvi u nizu količnika bez ostatka pri dijeljenju s $10$ .

$v=29$	$7\cdot29+3=206$ $206-1=205$ $205$ nije višekratnik broja $10$ .	$v=30$	$7\cdot30+3=213$ $213-1=212$ $212$ nije višekratnik broja $10$ .	$v=31$	$7\cdot31+3=220$ $220-1=219$ $219$ nije višekratnik broja $10$ .
$v=32$	$7\cdot32+3=227$ $227-1=226$ $226$ nije višekratnik broja $10$ .	$v=33$	$7\cdot33+3=234$ $234-1=233$ $233$ nije višekratnik broja $10$ .	$v=34$	$7\cdot34+3=241$ $241-1=240$ $240:10=24$ $m=24$ cm