3. Zadatak

Kako je $2005=5\cdot401$, a brojevi $5$ i $401$ prosti brojevi, dimenzije pravokutnika mogu biti:

1. $1$ cm i $2005$ cm ili
2. $5$ cm i $401$ cm.

U prvom je slučaju potrebno $2005$ kvadrata sa stranicom duljine $1$ cm.

U drugom slučaju, ako koristimo kvadrate s najduljom stranicom, očekujemo da će broj potrebnih kvadrata biti manji. Kako je $401=80\cdot5+1$, potrebno je $80$ kvadrata sa stranicom duljine $5$ cm i $5$ kvadrata sa stranicom duljine $1$ cm što je ukupno $85$ kvadrata.

Ako koristimo $79$ kvadrata sa stranicom duljine $5$ cm, preostao je pravokutnik dimenzija $5$ cm i $6$ cm za koji je potrebno $3$ kvadrata sa stranicom duljine $2$ cm i $2$ kvadrata sa stranicom duljine $3$ cm, što je ukupno $84$ kvadrata.

Ako koristimo $78$ kvadrata sa stranicom duljine $5$ cm, preostao je pravokutnik dimenzija $5$ cm i $11$ cm za koji moramo koristiti kvadrat sa stranicom duljine $5$ cm jer je inače broj potrebnih kvadrata veći od $6$, a ukupno više od $84$.

Daljnjim smanjivanjem broja kvadrata sa stranicom duljine $5$ cm povećava se broj potrebnih kvadrata pa zaključujemo da je potrebno najmanje $84$ kvadrata.