2. Zadatak

Prvi način:

„List“ se može prepoloviti dijagonalom kvadrata $\overline{BD}$.

Površina polovice „lista“ jednaka je razlici površine kružnog isječka, koji je zapravo četvrtina kruga sa središtem u točki A i polumjerom $\overline{AB}$ i površine jednakokračnog pravokutnog trokuta ABD.

Ako s $a$ označimo duljinu stranice kvadrata, površina polovice „lista“ je

$$\frac{a^2\pi}{4}-\frac{a^2}{2}.$$

Tada je površina cijelog „lista“

$$\frac{a^2\pi}{2}-a^2=a^2\left(\frac{\pi}{2}-1\right).$$

Udio površine „lista“ u kvadratu jednak je omjeru površine lista i površine kvadrata:

$$\frac{a^2\left(\frac{\pi}{2}-1\right)}{a^2} =\frac{\pi}{2}-1\approx1.57-1=0.57=57\%.$$

Drugi način:

Površina kvadrata je $a^2$. Kvadrat se sastoji od zatamnjenog „lista“ (njegovu površinu označimo s $P_1$) i nezatamnjenih sukladnih likova ABD i BCD (njihovu površinu označimo s $P_2$).

Zbroj površina tih triju likova mora biti jednaka površini kvadrata tj. mora vrijediti

$$a^2=P_1+2P_2. \tag{1}$$

S druge strane, „list“ i nezatamnjeni lik ABD čine četvrtinu kruga površine $a^2\cdot\frac{\pi}{4}$ pa mora biti

$$a^2\cdot\frac{\pi}{4}=P_1+P_2. \tag{2}$$

Pomnožimo li (2) s 2 i od tako pomnožene druge jednadžbe oduzmemo prvu, dobivamo da je površina „lista“:

$$P_1=\frac{a^2\pi}{2}-a^2.$$

Sada, istovjetno kao u prvom načinu rješavanja, zaključujemo kako je udio površine „lista“ u kvadratu približno jednak 57 %.