3. Zadatak

Prvi način:

Označimo s $e_1$ i $f_1$ duljine dijagonala početnog romba, a s $e_2$ i $f_2$ duljine dijagonala romba dobivenog nakon produljenja dijagonala. Tada vrijedi:

$$e_1=f_1+14,$$ $$e_2=e_1+2=f_1+14+2=f_1+16 \quad\text{i}\quad f_2=f_1+8.$$

Vrijedi $P_2=P_1+144$, odnosno

$$\frac{e_2\cdot f_2}{2}=\frac{e_1\cdot f_1}{2}+144.$$

Dalje je

$$\frac{(f_1+16)\cdot(f_1+8)}{2}=\frac{(f_1+14)\cdot f_1}{2}+144,$$ $$(f_1+16)\cdot(f_1+8)=(f_1+14)\cdot f_1+288,$$ $$f_1^2+16f_1+8f_1+128=f_1^2+14f_1+288,$$ $$10f_1=160\Rightarrow f_1=16.$$

Tada je $e_1=16+14=30$.

Duljine dijagonala romba su 30 cm i 16 cm.

Drugi način:

Neka su $e,f$ duljine dijagonala prvog romba.

Vrijedi $e-f=14$.

Površina prvog romba je $P_1=\frac{ef}{2}$.

Duljine dijagonala drugog romba su $e+2,f+8$, a površina mu je $P_2=\frac{(e+2)(f+8)}{2}$.

Vrijedi $P_2=P_1+144$, pa možemo pisati

$$\frac{(e+2)(f+8)}{2}=\frac{ef}{2}+144.$$

Dalje je

$$\frac{ef+8e+2f+16}{2}=\frac{ef}{2}+144,$$ $$\frac{ef}{2}+4e+f+8=\frac{ef}{2}+144\Rightarrow4e+f=136.$$

Riješimo sustav jednadžbi:

$$e-f=14$$ $$4e+f=136$$ $$e=30,\quad f=16$$

Duljine dijagonala romba su 30 cm i 16 cm.