7. Zadatak

Kružnice $k_1$ i $k_2$ se dodiruju izvana. Omjer duljina njihovih polumjera je 2 : 1. Zajednička tangenta dira kružnicu $k_1$ u točki T, a kružnicu $k_2$ u točki R. Koliki je omjer duljine dužine $\overline{TR}$ i duljine polumjera veće kružnice?

Prvi način:

Službena skica prvog načina

Skica:

Označimo sa $S_1$ i $S_2$ središta kružnica $k_1$ i $k_2$ redom, kao i njihove polumjere $r_1$ i $r_2$ . Neka je $r_1>r_2$ .

Zadatak se slično rješava i u slučaju $r_2>r_1$ . Točkom $S_2$ nacrtamo paralelu $x$ s $\overline{TR}$ . Neka je P sjecište pravca $x$ i polumjera $\overline{S_1T}$ kružnice $k_1$ .

Tada je trokut $S_1S_2P$ pravokutan, a četverokut $S_2PTR$ pravokutnik, pri čemu je $|S_2P|=|TR|$ .

Primjenom Pitagorinog poučka dobivamo

|TR|=|PS_2|=\sqrt{|S_1S_2|^2-|S_1P|^2}. \quad(*)

Iskoristimo omjer (2 : 1) između polumjera kružnica $k_1$ i $k_2$ kao i pretpostavku da je $r_1>r_2$ . Naime, postoji broj $r$ tako da možemo pisati; $r_1=2r,\ r_2=r$ .

Tada je $|S_1S_2|=3r$ .

Uvrštavanjem u (*) dobivamo $|TR|=\sqrt{9r^2-r^2}=\sqrt{8r^2}=2\sqrt2r$ ,

pa je traženi omjer $|TR|:|S_1T|=2\sqrt2r:2r=\sqrt2:1$ .

Drugi način:

Službena skica drugog načina

Skica:

Označimo sa $S_1$ i $S_2$ središta kružnica $k_1$ i $k_2$ redom, kao i njihove polumjere $r_1$ i $r_2$ . Neka je $r_1>r_2$ .

Zadatak se slično rješava i u slučaju $r_2>r_1$ .

Iz uvjeta da je $r_1 : r_2 = 2 : 1$ slijedi da postoji broj $r$ takav da je $r_1=2r,\ r_2=r$ .

Središtima $S_1$ i $S_2$ nacrtajmo pravac $\overline{S_1S_2}$ .

Neka je točka O sjecište tangente $\overline{TR}$ i pravca $\overline{S_1S_2}$ . Prema K-K poučku o sličnosti trokuti $ROS_2$ i $TOS_1$ su slični (imaju jedan zajednički kut $\angle TOS_1=\angle ROS_2$ i jedan pravi kut).

Zbog $|S_1T|=2|S_2R|$ vrijedi $|S_1O|=2|S_2O|$ , odnosno $|S_2O|=|S_1S_2|=3r$ .

Primjenom Pitagorinog poučka na pravokutni trokut $ROS_2$ dobije se:

|RO|^2=|OS_2|^2-|S_2R|^2=9r^2-r^2=8r^2.

Tada je $|TR|=|RO|=\sqrt{8r^2}=2\sqrt2r$ .

Onda je $|TR|:|S_1T|=2\sqrt2r:2r=\sqrt2:1$ .