6. Zadatak

Prvi način:

$$(3a+5b)^2=9a^2+30ab+25b^2$$ $$=9(a-b)^2+48ab+16b^2=9(a-b)^2+16(3ab+b^2)$$

Kako je $a-b$ djeljivo s 4, to je $(a-b)^2$ djeljivo sa 16, pa je i $9(a-b)^2+16(3ab+b^2)$ djeljivo sa 16, jer je $3ab+b^2$ cijeli broj.

Drugi način:

Iz uvjeta da su $a$ i $b$ cijeli brojevi takvi da je $a-b$ djeljivo s 4, slijedi da $a$ i $b$ imaju iste ostatke pri dijeljenju 4, tj. da je $a=4k+i$, $b=4l+i$, za cijele brojeve $k$ i $l$ te $i=0,1,2,3$.

Tada je

$$(3a+5b)^2=((3(4k+i)+5(4l+i)))^2=(4(3k+5l)+8i)^2$$ $$=16(3k+5l+2i)^2$$

što je djeljivo sa 16, jer je $(3k+5l+2i)^2$ cijeli broj.

Treći način:

Ako je $a-b$ djeljivo sa 4, onda postoji cijeli broj $k$ takav da je $a-b=4k$.

Tada je $a=b+4k$.

Onda je $3a+5b=3(b+4k)+5b=8b+12k$.

Tada je $(3a+5b)^2=(8b+12k)^2=64b^2+192bk+144k^2$.

To se može napisati kao $16\cdot(4b^2+12bk+9k^2)$, pa je djeljivo sa 16.