5. Zadatak

Na kuglicama su svi prirodni brojevi $b\le 10\,000$, pa ćemo prebrojati jednoznamenkaste, dvoznamenkaste, troznamenkaste, četveroznamenkaste i peteroznamenkaste brojeve s traženim svojstvom.

Broj je djeljiv s 5 ako mu je znamenka jedinica 5 ili 0.

a) Ako je $1\le b\le9$, onda samo broj 5 zadovoljava uvjete pa imamo samo 1 jednoznamenkasti broj s traženim svojstvom.

b) Ako je $10\le b\le99$, onda je $b=\overline{x0}$ ili $b=\overline{x5}$. Ako je broj dvoznamenkast, onda je $x\ne0$, a kako znamenke moraju biti različite, dvoznamenkastih brojeva oblika $\overline{x0}$ ima 9, a oblika $\overline{x5}$ ima 8. Ukupno je 17 dvoznamenkastih brojeva s traženim svojstvom.

c) Ako je $100\le b\le999$, onda je $b=\overline{xy0}$ ili $b=\overline{xy5}$. Dvoznamenkasti početak broja $\overline{xy}$ ima 9 mogućnosti za znamenku $x$ i 8 mogućnosti za znamenku $y$, a za broj oblika $\overline{xy0}$ znamenka $y$ ne može biti 0. Zato takvih brojeva ima

$$9\cdot8=72.$$

Za broj oblika $\overline{xy5}$ znamenka $x$ ima 8 mogućnosti, a znamenka $y$ 8 mogućnosti, pa takvih brojeva ima

$$8\cdot8=64.$$

Ukupno je 136 troznamenkastih brojeva s traženim svojstvom.

d) Ako je $1000\le b\le9999$, onda je $b=\overline{xyz0}$ ili $b=\overline{xyz5}$. Za broj oblika $\overline{xyz0}$ znamenke $x$, $y$ i $z$ imaju redom 9, 8 i 7 mogućnosti, pa takvih brojeva ima

$$9\cdot8\cdot7=504.$$

Za broj oblika $\overline{xyz5}$ znamenke $x$, $y$ i $z$ imaju redom 8, 8 i 7 mogućnosti, pa takvih brojeva ima

$$8\cdot8\cdot7=448.$$

Ukupno je 952 četveroznamenkastih brojeva s traženim svojstvom.

e) Jedini peteroznamenkasti broj 10 000 ne zadovoljava uvjete zadatka.

Ukupan broj kuglica s traženim svojstvom je

$$1+9+8+72+64+504+448=1\,106.$$

Vjerojatnost je

$$p=\frac{1106}{10000}=\frac{553}{5000}=0.1106=11.06\%.$$

Napomena: Vjerojatnost može biti izražena u bilo kojem od navedenih oblika zapisa.