4. Zadatak

Prvi način:

Neka je $|AB|=a$, $|BC|=b$.

Dijagonale paralelograma se raspolavljaju, pa možemo označiti $|SB|=|SD|=x$ i $|SA|=|SC|=y$.

Ako je opseg trokuta $\triangle CDS$ za $5.6\ \mathrm{cm}$ manji od opsega trokuta $\triangle BCS$, vrijedi jednakost

$$x+y+b=x+y+a+5.6,$$

tj. $b=a+5.6$.

Razmjer $|BM|:|MC|=7:4$ možemo zapisati kao $|BM|=7k$, $|MC|=4k$, pa je

$$b=|BM|+|MC|=11k.$$

Označimo li $|\angle BAD|=2\alpha$, onda je $|\angle BAM|=\alpha$, jer je AM simetrala kuta $\angle BAD$.

Susjedni kutovi u paralelogramu su suplementarni, pa je $|\angle MBA|=180^\circ-2\alpha$.

Iz navedenog slijedi da je mjera trećeg kuta $\triangle ABM$, $|\angle AMB|=\alpha$.

Stoga je $\triangle ABM$ jednakokračan s duljinama krakova $|AB|=|BM|=a=7k$.

Uvrštavanjem u jednakost $b=a+5.6$ dobijemo $11k=7k+5.6$, tj. $k=1.4$.

Slijedi:

$$a=7k=9.8\ \mathrm{cm},$$ $$b=11k=15.4\ \mathrm{cm}.$$

Opseg paralelograma ABCD je

$$o=2a+2b=19.6+30.8=50.4\ \mathrm{cm}.$$

Drugi način:

Neka je $|AB|=a$, $|BC|=b$.

Dijagonale paralelograma se raspolavljaju, pa možemo označiti $|SB|=|SD|=x$ i $|SA|=|SC|=y$.

Ako je opseg trokuta $\triangle CDS$ za $5.6\ \mathrm{cm}$ manji od opsega trokuta $\triangle BCS$, vrijedi jednakost

$$x+y+b=x+y+a+5.6,$$

tj. $b=a+5.6$.

Kako je $|BM|:|MC|=7:4$, slijedi

$$|BM|=\frac{7}{11}b,\qquad |MC|=\frac{4}{11}b.$$

Označimo li $|\angle BAD|=2\alpha$, onda je $|\angle BAM|=\alpha$, jer je AM simetrala kuta $\angle BAD$.

Susjedni kutovi u paralelogramu su suplementarni, pa je $|\angle MBA|=180^\circ-2\alpha$.

Iz navedenog slijedi da je mjera trećeg kuta $\triangle ABM$, $|\angle AMB|=\alpha$.

Stoga je $\triangle ABM$ jednakokračan s duljinama krakova $|AB|=|BM|=a$.

Kako je $|BM|=\frac{7}{11}b$, slijedi $a=\frac{7}{11}b$.

Uvrštavanjem u jednakost $b=a+5.6$ dobijemo $b=\frac{7}{11}b+5.6$, odnosno $b=15.4\ \mathrm{cm}$.

Slijedi $a=\frac{7}{11}b=\frac{7}{11}\cdot15.4=9.8\ \mathrm{cm}$.

Opseg paralelograma ABCD je

$$o=2a+2b=19.6+30.8=50.4\ \mathrm{cm}.$$