2. Zadatak

Prvi način:

Pogledajmo koliko ima uređenih parova prirodnih brojeva $(a,b)$, tako da zadovoljavaju uvjete zadatka.

Ako je $a=1$, tada $b$ može poprimiti vrijednosti $1,2,3,\ldots,2017$.

Ako je $a=2$, tada $b$ može poprimiti vrijednosti $1,2,3,\ldots,2016$.

$\vdots$

Ako je $a=2017$, tada $b$ može poprimiti samo vrijednost 1.

Dakle uređenih parova $(a,b)$, pri čemu su $a$ i $b$ prirodni brojevi ima:

$$1+2+\cdots+2017=\frac{2018\cdot2017}{2}=2\,035\,153$$

Pogledajmo koliko ima uređenih parova $(a,b)$ koji zadovoljavaju uvjete zadatka, gdje su $a$ i $b$ cijeli brojevi različiti od nule.

Iz uvjeta $|a|+|b|<2019$ slijedi da svakom uređenom paru prirodnih brojeva $(a,b)$, koji zadovoljava uvjet zadatka možemo pridružiti i uređene parove cijelih brojeva oblika $(a,-b)$, $(-a,b)$, $(-a,-b)$ koji zadovoljavaju uvjete zadatka.

Uređenih parova cijelih brojeva $(a,b)$, gdje su $a$ i $b$ cijeli brojevi različiti od nule ima

$$4\cdot2\,035\,153=8\,140\,612.$$

Ostalo je još prebrojati uređene parove $(a,b)$, u kojima je barem jedan od članova jednak nuli.

Ako je $a=0$, tada prema uvjetu zadatka slijedi $|b|<2019$.

Cijelih brojeva $b$ koji zadovoljavaju taj uvjet ima $2\cdot2018+1=4037$.

Analogno ako je $b=0$.

Uređenih parova cijelih brojeva $(a,b)$, u kojima je barem jedan od članova jednak nuli ima

$$4037+4037-1=8073$$

(uređen par $(0,0)$ smo brojali 2 puta).

Ukupno ima $8\,140\,612+8073=8\,148\,685$ uređenih parova cijelih brojeva $(a,b)$ s traženim svojstvom.

Napomena: Drugi način prebrojavanja uređenih parova cijelih brojeva $(a,b)$ u kojima je barem jedan od članova jednak nuli:

Ako je $a=0$, cijelih brojeva $b\ne0$, a koji zadovoljavaju zadanu nejednakost, ima $2\cdot2018=4036$.

Analogno ako je $b=0$, cijelih brojeva $a\ne0$, a koji zadovoljavaju zadanu nejednakost, ima $2\cdot2018=4036$.

Postoji i jedan uređeni par $(a,b)$ u kojem su oba člana jednaka nuli.

Uređenih parova cijelih brojeva $(a,b)$, u kojima je barem jedan od članova jednak nuli ima:

$$4036+4036+1=8073.$$

Drugi način:

Ako je $a=0$, tada $b$ može poprimiti vrijednosti $-2018,-2017,\ldots,2017,2018$, tj.

za $a=0$ uređenih parova koji zadovoljavaju uvjet zadatka ima $2\cdot2018+1$.

Ako je $a=1$, tada $b$ može poprimiti vrijednosti $-2017,-2016,\ldots,2016,2017$, tj.

za $a=1$ uređenih parova koji zadovoljavaju uvjet zadatka ima $2\cdot2017+1$.

Ako je $a=-1$, tada $b$ može poprimiti vrijednosti $-2017,-2016,\ldots,2016,2017$, tj. za

$a=-1$ uređenih parova koji zadovoljavaju uvjet zadatka ima $2\cdot2017+1$.

Ako je $a=2$, tada $b$ može poprimiti vrijednosti $-2016,-2015,\ldots,2015,2016$, tj. za

$a=2$ uređenih parova koji zadovoljavaju uvjet zadatka ima $2\cdot2016+1$.

Ako je $a=-2$, tada $b$ može poprimiti vrijednosti $-2016,-2015,\ldots,2015,2016$, tj. za

$a=-2$ uređenih parova koji zadovoljavaju uvjet zadatka ima $2\cdot2016+1$.

$\vdots$

Ako je $a=2017$, tada $b$ može poprimiti vrijednosti $-1,0,1$, tj.

za $a=2017$ uređenih parova koji zadovoljavaju uvjet zadatka ima $2\cdot1+1$.

Ako je $a=-2017$, tada $b$ može poprimiti vrijednosti $-1,0,1$, tj.

za $a=-2017$ uređenih parova koji zadovoljavaju uvjet zadatka ima $2\cdot1+1$.

Ako je $a=2018$, tada $b$ može poprimiti samo vrijednost 0, tj.

za $a=2018$ uređenih parova koji zadovoljavaju uvjet zadatka ima $2\cdot0+1$.

Ako je $a=-2018$, tada $b$ može poprimiti samo vrijednost 0, tj.

za $a=-2018$ uređenih parova koji zadovoljavaju uvjet zadatka ima $2\cdot0+1$.

Ukupno, takvih uređenih parova cijelih brojeva ima:

$$\begin{aligned} &(2\cdot2018+1)+2\cdot\big((2\cdot2017+1)+(2\cdot2016+1)+\cdots+(2\cdot1+1)+(2\cdot0+1)\big)\\ &=2\cdot2018+1+2\cdot\left(2\cdot(2017+2016+\cdots+1)+2018\cdot1\right)\\ &=2\cdot2018+1+2\cdot\left(2\cdot\frac{2017\cdot2018}{2}+2018\right)\\ &=2\cdot2018+1+2\cdot(2017\cdot2018+2018)\\ &=2\cdot2018+1+2\cdot2018\cdot(2017+1)\\ &=2\cdot2018+1+2\cdot2018\cdot2018\\ &=2\cdot2018\cdot(1+2018)+1\\ &=2\cdot2018\cdot2019+1\\ &=8\,148\,685. \end{aligned}$$