4. Zadatak

Označimo na slici visinu $\overline{AD}$ trokuta $\triangle ABC$ na stranicu $\overline{BC}$ i visinu $\overline{ME}$ trokuta $\triangle MNC$ na stranicu $\overline{NC}$.

Dobiveni pravokutni trokuti $\triangle ADC$ i $\triangle MEC$ imaju zajednički kut pri vrhu $C$ pa su prema poučku K–K slični i vrijedi $|AC|:|MC|=|AD|:|ME|$.

Kako je $|AM|:|MC|=1:m$, vrijedi $|AC|:|MC|=(1+m):m$ pa je omjer duljina visina trokuta $\triangle ADC$ i $\triangle MEC$ jednak

$$|AD|:|ME|=(1+m):m,$$

odnosno

$$\frac{|AD|}{|ME|}=\frac{1+m}{m}.$$

Nadalje, kako je $|BN|:|NC|=1:n$, omjer duljina stranica $\overline{BC}$ i $\overline{NC}$ trokuta $\triangle ABC$ i $\triangle MNC$ jednak je $|BC|:|NC|=(1+n):n$, odnosno

$$\frac{|BC|}{|NC|}=\frac{1+n}{n}.$$

Kako je

$$P_{\triangle ABC}=\frac{|BC|\cdot|AD|}{2},\qquad P_{\triangle MNC}=\frac{|NC|\cdot|ME|}{2}$$

i vrijedi $P_{\triangle ABC}:P_{\triangle MNC}=2:1$, onda je

$$(|BC|\cdot|AD|):(|NC|\cdot|ME|)=2:1$$

ili

$$\frac{|BC|\cdot|AD|}{|NC|\cdot|ME|}=\frac{|BC|}{|NC|}\cdot\frac{|AD|}{|ME|}=2.$$

Stoga vrijedi:

$$\begin{aligned} \frac{1+n}{n}\cdot\frac{1+m}{m}&=2\\ (1+n)\cdot(1+m)&=2nm\\ 1+m+n+nm&=2nm\\ nm-n-m&=1\\ nm-n-m+1&=1+1\\ n(m-1)-(m-1)&=2\\ (m-1)(n-1)&=2 \end{aligned}$$

Budući da su $m$ i $n$ prirodni brojevi, imamo dvije mogućnosti:

$m-1=1$ i $n-1=2$ ili $m-1=2$ i $n-1=1$.

Konačno, traženi brojevi su $m=2$ i $n=3$ ili $m=3$ i $n=2$.

Napomena 1: Jednadžba $nm-n-m=1$ može se riješiti i na ovaj način:

$$nm-m=1+n$$ $$m(n-1)=1+n$$ $$m=\frac{1+n}{n-1}=\frac{n-1+2}{n-1}=1+\frac{2}{n-1}.$$

Da bi $m$ bio prirodni broj, $n-1$ mora biti prirodni broj i djelitelj broja 2.

Prema tome, $n-1$ može biti 1 ili 2 odnosno $n$ može biti 2 ili 3.

Broj $m$ može biti, redom u ovisnosti o $n$, 3 ili 2.

Konačno, traženi brojevi su $m=2$ i $n=3$ ili $m=3$ i $n=2$.

Napomena 2: Rješenje ne ovisi o vrsti trokuta tj. o vrsti unutarnjeg kuta s vrhom $A$.

No, ukoliko je zadatak rješavan na način da se promatraju visina $\overline{BD}$ trokuta $\triangle ABC$ na stranicu $\overline{AC}$ i visina $\overline{NE}$ trokuta $\triangle MNC$ na stranicu $\overline{MC}$, rješenje se dobije analogno uz odgovarajuće oznake.

Označimo na slici visinu $\overline{BD}$ trokuta $\triangle ABC$ na stranicu $\overline{AC}$ i visinu $\overline{NE}$ trokuta $\triangle MNC$ na stranicu $\overline{MC}$.

Dobiveni pravokutni trokuti $\triangle BCD$ i $\triangle NCE$ imaju zajednički kut pri vrhu $C$ pa su prema poučku K–K slični i vrijedi $|BC|:|NC|=|BD|:|NE|$.

Kako je $|BN|:|NC|=1:n$, vrijedi $|BC|:|NC|=(1+n):n$, pa je omjer duljina visina trokuta $\triangle BDC$ i $\triangle NEC$ jednak $|BD|:|NE|=(1+n):n$, odnosno

$$\frac{|BD|}{|NE|}=\frac{1+n}{n}.$$

Nadalje, kako je $|AM|:|MC|=1:m$, omjer duljina stranica $\overline{AC}$ i $\overline{MC}$ trokuta $\triangle ABC$ i $\triangle MNC$ jednak je $|AC|:|MC|=(1+m):m$, odnosno

$$\frac{|AC|}{|MC|}=\frac{1+m}{m}.$$

Kako je

$$P_{\triangle ABC}=\frac{|AC|\cdot|BD|}{2},\qquad P_{\triangle MNC}=\frac{|MC|\cdot|NE|}{2}$$

i vrijedi $P_{\triangle ABC}:P_{\triangle MNC}=2:1$, onda je

$$(|AC|\cdot|BD|):(|MC|\cdot|NE|)=2:1$$

ili

$$\frac{|AC|\cdot|BD|}{|MC|\cdot|NE|}=\frac{|AC|}{|MC|}\cdot\frac{|BD|}{|NE|}=2.$$

Stoga vrijedi:

$$\begin{aligned} \frac{1+m}{m}\cdot\frac{1+n}{n}&=2\\ (1+m)\cdot(1+n)&=2mn\\ 1+n+m+mn&=2mn\\ mn-n-m&=1\\ mn-n-m+1&=1+1\\ n(m-1)-(m-1)&=2\\ (m-1)(n-1)&=2 \end{aligned}$$

Budući da su $m$ i $n$ prirodni brojevi, imamo dvije mogućnosti:

$m-1=1$ i $n-1=2$ ili $m-1=2$ i $n-1=1$.

Konačno, traženi brojevi su $m=2$ i $n=3$ ili $m=3$ i $n=2$.